Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de latão (diâmetro 50 mm, comprimento 500 mm, E = 100 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø50 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 15 kNtrecho 1: Ø40 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1,5 m, alumínio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 5 kW a 1500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 5 kWN = 1500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga em balanço está engastada em A. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento e uma carga concentrada P a 1 m de A. Encontre o momento fletor M_x na seção x = 0,5 m a partir do engaste A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 40 kN em 1 mw = 10 kN/m de 0 a 5 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 2,5 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo M_max entre os apoios.

L = 7,5 mw = 8 kN/m de 0 a 7,5 mapoios em x = 0 e x = 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 260 mm e diâmetro interno d = 244 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 260 mmd = 244 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 120 mm × 240 mm tem um recorte retangular de 40 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 84 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 240 mmrecorte: 40 × 40 mmcentro do furo: y = 84 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 40 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −70 MPa, σᵧ = 70 MPa e τₓᵧ = 20 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 20° no sentido horário a partir do eixo x.

σ_x = −70 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 75 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/360. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 1 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (aço)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 65,75 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·1963) = 2,546 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/6,083 × 10⁻⁶ = 65754 N = 65,75 kN

Resposta

P = 65,75 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 2,995 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 11,94 MPa

σ₂ = 132,6 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 11,94·1500/117000 = 0,153 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 132,6·1500/70000 = 2,842 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,995 mm

Resposta

δ = 2,995 mm

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,5836 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

Resposta

φ = 0,5836°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 12,65 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 5000/157,1 = 31,83 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·31831/(π·80)) = 12,65 mm

Resposta

d = 12,65 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = −121,3 kN·m

Fique com a parte da extremidade livre

P: −40·0,5 = −20 kN·m

w: −10·4,5²/2 = −101,3 kN·m

M_x = −20 − 101,3 = −121,3 kN·m

Resposta

M_x = −121,3 kN·m

Negativo significa tração na face superior.

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 14,06 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·7,5 = 60 kN, atuando em x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·7,5·3,75

R_B = 225/5 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 45 = 15 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 15/8 = 1,875 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 15²/(2·8) = 14,06 kN·m

Resposta

M_max = 14,06 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 89,14 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 6333 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,033 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(5,033 × 10⁷/6333) = 89,14 mm

Resposta

r = 89,14 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (28800·120 − 1600·84)/(28800 − 1600) = 122,1 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·240³/12 + 28800·−2,118² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

40·40³/12 + 1600·−38,12² = 2,538 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 135,8 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = 15,8 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·40, 80 − −50) = 31,61°

Ângulo no elemento

θ_p = 15,8°

Resposta

θ_p = 15,8°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −66,48 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 0 + −70·0,766 + 20·−0,6428 = −66,48 MPa

Resposta

σ_θ = −66,48 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 30,01 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 12·1500⁴/(8·2,53 × 10¹¹) = 30,01 mm

Resposta

δ = 30,01 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 163,4 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·4000⁴/(384·11000·11,11) = 2,727 × 10⁷ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·2,727 × 10⁷/75)^1/3 = 163,4 mm

Resposta

h_req = 163,4 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 5,264 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·5000 = 10000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/10000² = 5264 N = 5,264 kN

Resposta

P_cr = 5,264 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 38,86 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/133,3² = 38,86 MPa

Resposta

σ_cr = 38,86 MPa

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