Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de alumínio, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 100 kNd = 25 mmL = 2 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) e um trecho de latão (diâmetro 60 mm, comprimento 300 mm, E = 100 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 80 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: latão, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 500 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 40 mm está fixo em A. Um torque de 100 N·m atua em B, a 1 m de A, e um torque de 1500 N·m no mesmo sentido atua na extremidade livre C, 1 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 40 mmT_B = 100 N·mT_C = 1500 N·mAB = 1 mBC = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga simplesmente apoiada suporta um binário no sentido horário M₀ = 40 kN·m em x = 5 m a partir de A, e nenhuma outra carga. Encontre o momento fletor M_x logo à direita do binário. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mM₀ = 40 kN·m no sentido horário, em 5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre a distância x₀ de A até a seção onde o momento fletor é máximo.

L = 4 mw = 24 kN/m de 0 a 3 m

x₀ = m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 120 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 30 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 30 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −50 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 140 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −10 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 2 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 9 kNa = 2 mL = 4 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e livre no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 2910 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 100·1000/490,9 = 203,7 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 203,7/70000 = 0,00291 = 2910 µε

Resposta

ε = 2910 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 23,15 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 100000·2827/300 = 942478 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 80000·942478/1,152 × 10⁶ = 65455 N

Tensão

σ₂ = 65455/2827 = 23,15 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 23,15 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 0,4669 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 500·1000·800/(80000·613592) = 0,008149 rad

φ = 0,008149·180/π = 0,4669°

Resposta

φ = 0,4669°

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 18,12 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 100 = 1600 N·m

Torção de cada trecho

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 1,6 × 10⁶·1000/(39000·251327) = 0,1632 rad

φ_BC = 1,5 × 10⁶·1000/(39000·251327) = 0,153 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,1632 + 0,153 = 0,3163 rad → |φ_C| = 18,12°

Resposta

φ_C = 18,12°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 20 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Um binário aplicado faz o diagrama de momento fletor saltar do valor do binário.

Reações de apoio

Momentos em relação a A, positivos no sentido anti-horário: R_B·L − M₀ = 0. Equilíbrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/10 = 4 kN (para cima)

R_A = −R_B = −4 kN (para baixo)

Corte logo à direita do binário

A parte esquerda agora contém R_A e o binário.

M_x = R_A·a + M₀ = −4·5 + 40 = 20 kN·m

Resposta

M_x = 20 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x₀ = 1,875 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 24·3 = 72 kN, atuando em x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·3·1,5

R_B = 108/4 = 27 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 27 = 45 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 45/24 = 1,875 m

Resposta

x₀ = 1,875 m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 5,283 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 120·20 = 2400 mm², y_f = 100 + 20/2 = 110 mm

alma: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·110 + 1800·50)/4200 = 84,29 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 120·20³/12 + 2400·(110 − 84,29)² = 1,667 × 10⁶ mm⁴

alma: 18·100³/12 + 1800·(50 − 84,29)² = 3,616 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,667 × 10⁶ + 3,616 × 10⁶ = 5,283 × 10⁶ mm⁴ = 5,283 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 5,283 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 35,66 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

alma: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·315 + 3000·150)/7200 = 246,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·30³/12 + 4200·(315 − 246,3)² = 2,017 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·300³/12 + 3000·(150 − 246,3)² = 5,029 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,017 × 10⁷ + 5,029 × 10⁷ = 7,046 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 330 − 246,3 = 83,75 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·83,75/7,046 × 10⁷ = 35,66 MPa

Resposta

σ_topo = 35,66 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 52,2 MPa

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−50 − −80)/2)² + 50²) = 52,2 MPa

Resposta

τ_max = 52,2 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 186 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 35 MPa, R = 105,5 MPa

σ₁ = 140,5 MPa, σ₂ = −70,48 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(140,5² − 140,5·(−70,48) + (−70,48)²) = 186 MPa

Resposta

σ_vM = 186 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 8,333 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 3,333 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,0025 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,333 mm

Resposta

δ_B = 8,333 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,726 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 17,26 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 47,59 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/1400² = 47586 N = 47,59 kN

Resposta

P_cr = 47,59 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 1,687 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/12,5 = 640

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/640² = 1,687 MPa

Resposta

σ_cr = 1,687 MPa

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