Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de cobre, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) e um trecho de bronze (diâmetro 50 mm, comprimento 400 mm, E = 110 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 60 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de alumínio está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 60 mm e comprimento 0,5 m; o trecho BC tem diâmetro 30 mm e comprimento 1,2 m. Um torque de 1500 N·m atua na extremidade livre C. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

T = 1500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 1,2 m

τ_max = MPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo vazado deve transmitir 50 kW a 1500 rpm. Seu diâmetro interno deve ser 0,5 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 40 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1,5 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre o momento fletor positivo máximo M_max entre os apoios.

L = 7,5 mw = 12 kN/m de 0 a 7,5 mapoios em x = 0 e x = 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 230 mm e diâmetro interno d = 202 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 230 mmd = 202 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 25 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 25 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 20 MPa, σᵧ = −30 MPa e τₓᵧ = 10 MPa (tração positiva). O elemento é girado 25° no sentido anti-horário. Encontre a tensão normal σ_y′ nas faces do elemento girado que são perpendiculares ao eixo girado y′.

σ_x = 20 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um eixo maciço de diâmetro 25 mm suporta uma força axial de compressão de 60 kN junto com um torque de 250 N·m. Na superfície do eixo, encontre a maior tensão principal σ₁.

d = 25 mmF = −60 kNT = 250 N·m

σ₁ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a a = 3,5 m do apoio A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 24 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 200 GPa (aço)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w e uma carga concentrada P no meio do vão. Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 9 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (alumínio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e livre no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (alumínio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 609,4 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/490,9 = 71,3 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 71,3/117000 = 0,0006094 = 609,4 µε

Resposta

ε = 609,4 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 25,59 MPa

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Rigidezes

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 60000·539961/644681 = 50254 N

Tensão

σ₂ = 50254/1963 = 25,59 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 25,59 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 282,9 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Tensão em cada trecho

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1,5 × 10⁶/(π·60³) = 35,37 MPa

τ_BC = 16·1,5 × 10⁶/(π·30³) = 282,9 MPa

Resposta

τ_max = 282,9 MPa

4.Torção de eixos

Resposta: d_o = 35,1 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 318,3 N·m = 318310 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0,9375)) = 35,1 mm

d_i = 0,5·35,1 = 17,55 mm

Resposta

d_o = 35,1 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 34,35 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: D (x = 6 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 78 kN, R₂ = 78 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 140, M_C = 248, M_D = 324 kN·m, M_E = 248, M_F = 140, M_G = 0

Resposta

Marca D: M_D = 324 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 47,46 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 12·7,5 = 90 kN, atuando em x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·7,5·3,75

R_B = 337,5/6 = 56,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 56,25 = 33,75 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 33,75/12 = 2,813 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 33,75²/(2·12) = 47,46 kN·m

Resposta

M_max = 47,46 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 76,53 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 9500 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 5,564 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(5,564 × 10⁷/9500) = 76,53 mm

Resposta

r = 76,53 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 40,9 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 300 + 10/2 = 305 mm

alma: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·305 + 4800·150)/6800 = 195,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 200·10³/12 + 2000·(305 − 195,6)² = 2,396 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·300³/12 + 4800·(150 − 195,6)² = 4,598 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,396 × 10⁷ + 4,598 × 10⁷ = 6,993 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 310 − 195,6 = 114,4 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·114,4/6,993 × 10⁷ = 40,9 MPa

Resposta

σ_topo = 40,9 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_y′ = −28,73 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Equação de transformação para a face y′

σ_y′ = −5 − 25·0,6428 − 10·0,766 = −28,73 MPa

Verificação

A soma das tensões normais não muda com a rotação.

σ_x′ = 18,73 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −10 = σ_x + σ_y

Resposta

σ_y′ = −28,73 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ₁ = 40,74 MPa

Tensões na superfície

σ = F/A = −60000/(π·25²/4) = −60000/490,9 = −122,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81,49 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = −61,12 MPa

R = √((−61,12)² + 81,49²) = 101,9 MPa

σ₁ = C + R = 40,74 MPa

σ₂ = C − R = −163 MPa

Resposta

σ₁ = 40,74 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 3,19 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 24000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 24000·3500²·2500²/(3·3,2 × 10¹³·6000) = 3,19 mm

Resposta

δ_P = 3,19 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 46,03 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga sozinha

δ_P = PL³/(48EI) = 9000·4000³/(48·8,4 × 10¹¹) = 14,29 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 31,75 mm

Some

δ_max = 14,29 + 31,75 = 46,03 mm

Resposta

δ_max = 46,03 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 15,5 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

Resposta

P_cr = 15,5 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 8,812 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/10 = 280

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8,812 MPa

Resposta

σ_cr = 8,812 MPa

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