Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma haste de aço (diâmetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 120 GPa). Ambos têm 500 mm de comprimento e são comprimidos juntos entre placas rígidas por 250 kN. Encontre o encurtamento δ.

P = 250 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) e um trecho de bronze (diâmetro 30 mm, comprimento 200 mm, E = 110 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 50 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: bronze, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de aço está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 750 N·md = 50 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 15 kW a 300 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 80 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 15 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 2 m8 kN/m, 2–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 0 m60 kN @ 6 m30 kN @ 2 m6 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 240 mm de largura e 12 mm de espessura, altura total de 400 mm e alma de 14 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 200 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão σ_j na junção da alma com a mesa superior.

B = 240 mmH = 400 mmt_f = 12 mmt_w = 14 mmM = 200 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 60 MPa e σᵧ = 90 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 115 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = 90 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −80 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 50° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 3,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 9 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 6 mw = 10 kN/m

M_A = kN·m

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de aço está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 0,2684 mm

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

Encurtamento

δ = 250000·500/4,657 × 10⁸ = 0,2684 mm

Resposta

δ = 0,2684 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 55,73 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·314,2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 110000·706,9/200 = 388772 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 50000·388772/493492 = 39390 N

Tensão

σ₂ = 39390/706,9 = 55,73 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 55,73 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,05 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(80000·613592) = 0,01833 rad

φ = 0,01833·180/π = 1,05°

Resposta

φ = 1,05°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 31,21 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 15000/31,42 = 477,5 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·477465/(π·80)) = 31,21 mm

Resposta

d = 31,21 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 50 kN, R₂ = 34 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 50, M_C = 100 kN·m, M_D = 86, M_E = 64, M_F = 34, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 100 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 4 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 9 kN, R₂ = 114 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −24, M_D = −69, M_E = −120 kN·m, M_F = −60, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −120 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 18,71 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

alma: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·205 + 2000·100)/4400 = 157,3 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·10³/12 + 2400·(205 − 157,3)² = 5,487 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·200³/12 + 2000·(100 − 157,3)² = 1,323 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,487 × 10⁶ + 1,323 × 10⁷ = 1,871 × 10⁷ mm⁴ = 18,71 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 18,71 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_j = 134,8 MPa

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 400 − 2·12 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·400³ − 226·376³)/12

I_x = 2,789 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 200 − 12 = 188 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁸·188/2,789 × 10⁸ = 134,8 MPa

Resposta

σ_j = 134,8 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 37,08 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Raio necessário

C = (60 + 90)/2 = 75 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 75 = 40 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 15²) = 37,08 MPa

Resposta

τ_xy = 37,08 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = 55,38 MPa

Equação de transformação

σ_θ = −15 + −65·−0,1736 + 60·0,9848 = 55,38 MPa

Resposta

σ_θ = 55,38 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 29,35 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 9000 N, a = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 17,86 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,007656 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 29,35 mm

Resposta

δ_B = 29,35 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 45 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·6/8 = 22,5 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 180 − 135 = 45 kN·m

Resposta

M_A = 45 kN·m

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 6,229 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6,229 kN

Resposta

P_cr = 6,229 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 12,34 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6,25 = 400

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Resposta

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials