Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 20 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de alumínio (diâmetro 40 mm, comprimento 200 mm, E = 70 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: alumínio, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 40 kNtrecho 1: Ø25 mm, 2 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo vazado deve suportar um torque de 250 N·m. Seu diâmetro interno deve ser 0,7 vezes o diâmetro externo, e a tensão de cisalhamento não pode passar de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro externo d_o.

T = 250 N·md_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço de latão com diâmetro 40 mm está fixo em A. Um torque de 250 N·m atua em B, a 1,5 m de A, e um torque de 1000 N·m no sentido oposto atua na extremidade livre C, 1,2 m adiante. Encontre o módulo do ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

d = 40 mmT_B = 250 N·mT_C = 1000 N·mAB = 1,5 mBC = 1,2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 2 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

40 kN @ 12 m60 kN @ 4 m4 kN/m, 0–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 16 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 50 mm de largura e 50 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 60 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 150 mmrecorte: 50 × 50 mmcentro do furo: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −60 MPa, com σ_z = 0. Encontre a tensão de cisalhamento máxima absoluta τ_abs no ponto (considerando todos os planos em três dimensões).

σ_x = −30 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 110 MPa, σᵧ = 80 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 50° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Encontre a rotação θ_A da viga no apoio A, em radianos.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 8 mP = 75 kN em 4 m

M_A = kN·m

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 130 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 130 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 39,1 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(70000·1257) = 2,274 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/1,023 × 10⁻⁵ = 39095 N = 39,1 kN

Resposta

P = 39,1 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 4,318 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 81,49 MPa

σ₂ = 198,9 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 81,49·2000/70000 = 2,328 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 198,9·2000/200000 = 1,989 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,318 mm

Resposta

δ = 4,318 mm

3.Torção de eixos

Resposta: d_o = 32,24 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Diâmetro externo pela tensão admissível

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·50·0,7599)) = 32,24 mm

d_i = 0,7·32,24 = 22,57 mm

Resposta

d_o = 32,24 mm

Um eixo maciço precisaria de d = 29,42 mm; o vazado é um pouco maior, mas muito mais leve.

4.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 13,59 °

Torques internos

Sentido de T_C tomado como positivo.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 250 = 750 N·m

Torção de cada trecho

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 750000·1500/(39000·251327) = 0,1148 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1200/(39000·251327) = 0,1224 rad

Torção da extremidade C

φ_C = 0,1148 + 0,1224 = 0,2372 rad → |φ_C| = 13,59°

Resposta

φ_C = 13,59°

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 2 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 54,67 kN, R₂ = 36,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 51,67, M_C = 97,33 kN·m, M_D = 82, M_E = 60,67, M_F = 33,33, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 97,33 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 4 m)

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 48 kN, R₂ = 92 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 88, M_C = 160 kN·m, M_D = 96, M_E = 16, M_F = −80, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 160 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 42,54 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 260 + 10/2 = 265 mm

alma: A_w = 16·260 = 4160 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·265 + 4160·130)/5560 = 164 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 140·10³/12 + 1400·(265 − 164)² = 1,43 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·260³/12 + 4160·(130 − 164)² = 2,824 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,43 × 10⁷ + 2,824 × 10⁷ = 4,254 × 10⁷ mm⁴ = 42,54 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 42,54 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 41,03 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (22500·75 − 2500·60)/(22500 − 2500) = 76,88 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·150³/12 + 22500·−1,875² = 42,27 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

50·50³/12 + 2500·−16,88² = 1,233 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 41,03 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 41,03 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_abs = 75 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Em três dimensões a tensão de cisalhamento máxima absoluta é (σ_max − σ_min)/2 considerando as três tensões principais; no estado plano de tensão a terceira é zero.

Tensões principais no plano

C = 15 MPa, R = √((−45)² + (−60)²) = 75 MPa

σ₁ = 90 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ_z = 0

O maior dos três círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(150, 90, 60)/2 = 75 MPa

Resposta

τ_abs = 75 MPa

Aqui σ₁ e σ₂ têm sinais opostos, então o máximo no plano R também é o máximo absoluto.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = −19,98 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −15·0,9848 + 30·−0,1736 = −19,98 MPa

Resposta

τ_θ = −19,98 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: θ_A = 0,02143 rad

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). A rotação θ = dv/dx é a primeira integral de M/(EI); em unidades consistentes ela sai em radianos.

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Rotação na extremidade

θ_A = wL³/(24EI) = 6·6000³/(24·2,52 × 10¹²) = 0,02143 rad

Resposta

θ_A = 0,02143 rad

Isso equivale a 1,228°.

12.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 112,5 kN·m

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição). Para uma viga estaticamente indeterminada, retire um apoio redundante e exija que a deflexão ali seja zero (compatibilidade).

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·75/16 = 23,44 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 300 − 187,5 = 112,5 kN·m

Resposta

M_A = 112,5 kN·m

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 23,87 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2100² = 23872 N = 23,87 kN

Resposta

P_cr = 23,87 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 87,7 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·130000 = 325000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 87,7 mm

Resposta

d = 87,7 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 191,6, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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