Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de aço, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 90 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 200 MPa) está dentro de um tubo de latão (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 70 mm, E = 100 GPa, tensão admissível 50 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga P_max.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de latão está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 40 mm e comprimento 0,8 m; o trecho BC tem diâmetro 20 mm e comprimento 1 m. Um torque de 100 N·m atua na extremidade livre C. Encontre o ângulo de torção φ_C da extremidade C, em graus.

T = 100 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 1 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 75 kW a 1800 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 75 kWN = 1800 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Ela suporta uma carga concentrada P₁ entre os apoios e uma carga concentrada P₂ em C. Encontre o momento fletor M_x sob a carga P₁. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 9 mP₁ = 20 kN em 3 mP₂ = 35 kN em 9 mapoios em x = 0 e x = 8 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 6 mP = 40 kN em 2 mw = 3 kN/m de 0 a 6 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Encontre o momento de inércia I_x da seção T em relação ao eixo horizontal x pelo seu centroide.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 25 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 18 mmh_w = 160 mmM = 25 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = −10 MPa e σᵧ = −50 MPa. Até que valor a tensão de cisalhamento τ_xy (em módulo) pode chegar antes que a maior tensão principal atinja 45 MPa?

σ_x = −10 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 45 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −10 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 420 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima).

σ_x = 160 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 420 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 27 kNa = 1 mL = 2 mE = 200 GPa (aço)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta duas cargas concentradas iguais P nos terços do vão (a L/3 de cada apoio). Usando superposição, encontre a deflexão no meio do vão δ_max.

P = 12 kNL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 150 kN com um fator de segurança de 2,5 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 150 kNn = 2,5L = 3 mE = 200 GPa (aço)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 1432 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 90·1000/314,2 = 286,5 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for aço = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 286,5/200000 = 0,001432 = 1432 µε

Resposta

ε = 1432 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: P_max = 271 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·4006 = 5,419 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,001, 0,0005) = 0,0005 (latão)

Maior carga

P_max = 0,0005·5,419 × 10⁸ = 270962 N = 271 kN

Resposta

P_max = 271 kN

3.Torção de eixos

Resposta: φ_C = 9,82 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Torção de cada trecho

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 100000·800/(39000·251327) = 0,008162 rad

φ_BC = 100000·1000/(39000·15708) = 0,1632 rad

Torção total

φ_C = 0,008162 + 0,1632 = 0,1714 rad = 9,82°

Resposta

φ_C = 9,82°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 34,35 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·397887/(π·50)) = 34,35 mm

Resposta

d = 34,35 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 24,38 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira. A carga do balanço também gera momento em relação a A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·3 + 35·9

R_B = 375/8 = 46,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 46,88 = 8,125 kN

Corte sob P₁ e fique com a parte esquerda

M_x = R_A·3 = 8,125·3 = 24,38 kN·m

Resposta

M_x = 24,38 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 38,67 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, atuando em x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·2 + 3·6·3

R_B = 134/6 = 22,33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 22,33 = 35,67 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 35,67·4 − 40·(4 − 2) − 3·4·2 = 38,67 kN·m

Resposta

M_x = 38,67 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 52,7 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

alma: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·272,5 + 2600·130)/9100 = 231,8 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 260·25³/12 + 6500·(272,5 − 231,8)² = 1,111 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·260³/12 + 2600·(130 − 231,8)² = 4,158 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,111 × 10⁷ + 4,158 × 10⁷ = 5,27 × 10⁷ mm⁴ = 52,7 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 52,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 82,2 MPa

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 240·10 = 2400 mm², y_f = 160 + 10/2 = 165 mm

alma: A_w = 18·160 = 2880 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·165 + 2880·80)/5280 = 118,6 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 240·10³/12 + 2400·(165 − 118,6)² = 5,179 × 10⁶ mm⁴

alma: 18·160³/12 + 2880·(80 − 118,6)² = 1,044 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,179 × 10⁶ + 1,044 × 10⁷ = 1,562 × 10⁷ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 170 − 118,6 = 51,36 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·51,36/1,562 × 10⁷ = 82,2 MPa

Resposta

σ_topo = 82,2 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_xy = 72,28 MPa

Raio necessário

C = (−10 + (−50))/2 = −30 MPa

R = σ₁ − C = 45 − (−30) = 75 MPa

Tensão de cisalhamento

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(75² − 20²) = 72,28 MPa

Resposta

τ_xy = 72,28 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 2,129

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 75 MPa, R = 98,62 MPa

σ₁ = 173,6 MPa, σ₂ = −23,62 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 197,2 MPa

n = 420/197,2 = 2,129

Resposta

n = 2,129

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 13,24 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 27000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 5,294 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,007941 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13,24 mm

Resposta

δ_B = 13,24 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 40,33 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 12000 N, L = 5000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Uma carga em L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1667 mm

δ₁ = 20,17 mm

Some as duas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 40,33 mm

Resposta

δ_max = 40,33 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 355,3 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1000² = 355306 N = 355,3 kN

Resposta

P_cr = 355,3 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 64,28 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2,5·150000 = 375000 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2100²/(π³·200000))^(1/4) = 64,28 mm

Resposta

d = 64,28 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 130,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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Resistência dos Materiais: pacote de revisão

1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Torção de eixos

Método

Esforço cortante e momento fletor

Método

Centroide e momento de inércia

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Método

Deflexão da viga

Flambagem de pilares

2Exercícios

3Soluções

Tensão

Deformação (lei de Hooke)

Resposta

Áreas

Rigidez axial combinada

Deformação governante

Maior carga

Resposta

Momentos polares

Torção de cada trecho

Torção total

Resposta

Torque

Diâmetro a partir da tensão admissível

Resposta

Reações de apoio

Corte sob P1 e fique com a parte esquerda

Resposta

Reações de apoio

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Resposta

Divida em dois retângulos

Centroide

Teorema dos eixos paralelos

Resposta

Divida em dois retângulos

Centroide

Teorema dos eixos paralelos

Tensão de flexão

Resposta

Raio necessário

Tensão de cisalhamento

Resposta

Tensões principais

Tresca

Resposta

Unidades consistentes

Deflexão na extremidade livre

Resposta

Unidades consistentes

Uma carga em L/3

Some as duas cargas

Resposta

Menor momento de inércia

Comprimento efetivo

Carga crítica

Resposta

Carga crítica necessária

Resolva para o diâmetro

Resposta

Corte sob P₁ e fique com a parte esquerda