Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 300 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 40 mm, comprimento 400 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø40 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

Um trecho de aço (diâmetro 40 mm, comprimento 500 mm, E = 200 GPa) e um trecho de alumínio (diâmetro 60 mm, comprimento 200 mm, E = 70 GPa) são unidos topo a topo e fixados entre duas paredes rígidas. Uma carga axial de 50 kN atua na junção, no sentido do trecho 2. Encontre o valor da tensão σ₂ no trecho 2.

trecho 1: aço, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatrecho 2: alumínio, Ø60 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 50 kN

σ₂ = MPa

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de alumínio está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 75 kW a 1450 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 60 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 75 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 7,5 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 10 mw = 8 kN/m de 0 a 10 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre o momento fletor máximo M_max na viga.

L = 4 mw = 6 kN/m de 0 a 3 m

M_max = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 150 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 60 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 195 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 300 mmd = 60 mmcentro do furo: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I simétrico tem mesas de 210 mm de largura e 14 mm de espessura, altura total de 360 mm e alma de 6 mm de espessura. Ela suporta um momento fletor de 40 kN·m em relação ao eixo x. Encontre o módulo da tensão de flexão máxima σ_max na seção.

B = 210 mmH = 360 mmt_f = 14 mmt_w = 6 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 100 MPa, σᵧ = 30 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −50 MPa, σᵧ = 50 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão normal σ_θ em um plano cuja normal está girada 35° no sentido anti-horário a partir do eixo x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (alumínio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga de madeira simplesmente apoiada, de seção retangular com 150 mm de largura, suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o vão. Sua deflexão no meio do vão não pode passar de vão/250. Encontre a menor altura h_req da seção.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madeira estrutural)b = 150 mm

h_req = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (alumínio)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está articulado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 104 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·1257) = 2,653 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/3,846 × 10⁻⁶ = 103998 N = 104 kN

Resposta

P = 104 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: σ₂ = 11,73 MPa

Rigidezes

k₁ = 200000·1257/500 = 502655 N/mm

k₂ = 70000·2827/200 = 989602 N/mm

Fatia do trecho 2

F₂ = 50000·989602/1,492 × 10⁶ = 33158 N

Tensão

σ₂ = 33158/2827 = 11,73 MPa (compressão)

Resposta

σ₂ = 11,73 MPa

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 4,157 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·79522) = 0,07255 rad

φ = 0,07255·180/π = 4,157°

Resposta

φ = 4,157°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 34,74 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 75000/151,8 = 493,9 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·493929/(π·60)) = 34,74 mm

Resposta

d = 34,74 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 75 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, atuando em x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Corte em x = 7,5 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 40·7,5 − 8·7,5·3,75 = 75 kN·m

Resposta

M_x = 75 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_max = 10,55 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN, atuando em x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·3·1,5

R_B = 27/4 = 6,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 6,75 = 11,25 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 11,25/6 = 1,875 m

Momento máximo

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 0)²/2 = 11,25·1,875 − 6·1,875²/2 = 10,55 kN·m

Resposta

M_max = 10,55 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 330,8 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (45000·150 − 2827·195)/(45000 − 2827) = 147 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·300³/12 + 45000·3,017² = 337,9 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·60⁴/64 + 2827·48,02² = 7,155 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 330,8 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 330,8 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_max = 37,04 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 360 − 2·14 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·360³ − 204·332³)/12

I_x = 1,944 × 10⁸ mm⁴

Tensão de flexão

y = 180 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·180/1,944 × 10⁸ = 37,04 MPa

Resposta

σ_max = 37,04 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −29,87 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 100 − 30) = −59,74°

Ângulo no elemento

θ_p = −29,87°

Resposta

θ_p = −29,87°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_θ = −64,09 MPa

Equação de transformação

σ_θ = 0 + −50·0,342 + −50·0,9397 = −64,09 MPa

Resposta

σ_θ = −64,09 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 38,06 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 38,06 mm

Resposta

δ = 38,06 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: h_req = 233,8 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Limite de deflexão

δ_allow = L/250 = 6000/250 = 24 mm

Momento de inércia necessário

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·24) = 1,598 × 10⁸ mm⁴

Altura necessária

bh³/12 = I_req → h = (12·1,598 × 10⁸/150)^1/3 = 233,8 mm

Resposta

h_req = 233,8 mm

Na prática, escolha a próxima altura padronizada acima desse valor.

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 12,53 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/4200² = 12533 N = 12,53 kN

Resposta

P_cr = 12,53 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 11,99 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Resposta

σ_cr = 11,99 MPa

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