Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 400 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 60 mm, comprimento 200 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,4 mm no total.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø60 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 100 kNtrecho 1: Ø40 mm, 0,5 m, aço (E = 200 GPa)trecho 2: Ø16 mm, 2 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão com 1 m de comprimento suporta um torque de 1000 N·m. O ângulo de torção entre suas extremidades não pode passar de 0,5°. Encontre o menor diâmetro d que atende a esse limite.

T = 1000 N·mL = 1 mG = 39 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 75 kW a 300 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 75 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

15 kN @ 2 m40 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mP = 40 kN em 3,5 mw = 3 kN/m de 0 a 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um perfil I simétrico tem mesas de 250 mm de largura e 14 mm de espessura, altura total de 320 mm e alma de 8 mm de espessura. Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo centroidal horizontal x.

B = 250 mmH = 320 mmt_f = 14 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 150 mm × 150 mm tem um recorte retangular de 40 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 90 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 150 mmh = 150 mmrecorte: 40 × 40 mmcentro do furo: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa e τₓᵧ = −60 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 100 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = 90 MPa, σᵧ = 100 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). Encontre a tensão equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 90 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPa

σ_vM = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 2 m de A. Encontre a deflexão δ_P sob a carga.

P = 24 kNa = 2 mL = 3 mE = 200 GPa (aço)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga concentrada P a b = 2 m do apoio B. Encontre a deflexão máxima δ_max da viga.

P = 3 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (madeira estrutural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 117 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·2827) = 5,895 × 10⁻⁷ mm/N

Carga

P = 0,4/3,419 × 10⁻⁶ = 116997 N = 117 kN

Resposta

P = 117 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 5,173 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 79,58 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 79,58·500/200000 = 0,1989 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 497,4·2000/200000 = 4,974 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,173 mm

Resposta

δ = 5,173 mm

3.Torção de eixos

Resposta: d = 73,96 mm

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar necessário

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 1 m = 1000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·1000/(39000·0,008727) = 2,938 × 10⁶ mm⁴

Diâmetro

d = (32J/π)^1/4 = 73,96 mm

Resposta

d = 73,96 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

4.Torção de eixos

Resposta: d = 62,42 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 75000/31,42 = 2387 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·2,387 × 10⁶/(π·50)) = 62,42 mm

Resposta

d = 62,42 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: C (x = 4 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 39,17 kN, R₂ = 15,83 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 78,33, M_C = 126,7 kN·m, M_D = 95, M_E = 63,33, M_F = 31,67, M_G = 0

Resposta

Marca C: M_C = 126,7 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 34 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 40·3,5 + 3·5·2,5

R_B = 177,5/5 = 35,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 35,5 = 19,5 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 19,5·4 − 40·(4 − 3,5) − 3·4·2 = 34 kN·m

Resposta

M_x = 34 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 180,6 × 10⁶ mm⁴

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada.

Retângulo externo menos os dois recortes laterais

Os dois recortes juntos têm (B − t_w) de largura e h_w = H − 2t_f de altura, e compartilham o eixo x.

h_w = 320 − 2·14 = 292 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·320³ − 242·292³)/12

I_x = 1,806 × 10⁸ mm⁴ = 180,6 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 180,6 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 41,59 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (22500·75 − 1600·90)/(22500 − 1600) = 73,85 mm

Placa inteira em torno de ȳ

150·150³/12 + 22500·1,148² = 42,22 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

40·40³/12 + 1600·16,15² = 0,6306 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 41,59 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 41,59 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −22,5 °

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−60, 100 − −20) = −45°

Ângulo no elemento

θ_p = −22,5°

Resposta

θ_p = −22,5°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_vM = 101,5 MPa

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = 95 MPa, R = 20,62 MPa

σ₁ = 115,6 MPa, σ₂ = 74,38 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(115,6² − 115,6·74,38 + 74,38²) = 101,5 MPa

Resposta

σ_vM = 101,5 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_P = 8,889 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 24000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Deflexão sob a carga

δ_P = Pa³/(3EI) = 24000·2000³/(3·7,2 × 10¹²) = 8,889 mm

Resposta

δ_P = 8,889 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: δ_max = 4,209 mm

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 3000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Posição do máximo

Igualar a zero a rotação no trecho mais longo dá a posição.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

Deflexão máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 4,209 mm

Resposta

δ_max = 4,209 mm

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 80,57 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Um retângulo flamba em torno do eixo fraco, usando a menor dimensão ao cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2100² = 80568 N = 80,57 kN

Resposta

P_cr = 80,57 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 35,25 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7,5 = 140

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

Resposta

σ_cr = 35,25 MPa

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