Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre o alongamento δ da barra de alumínio sob a carga axial.

P = 120 kNd = 12 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensão e deformação axialDifícil

Uma haste de aço (diâmetro 20 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 160 MPa) está dentro de um tubo de alumínio (diâmetro externo 100 mm, diâmetro interno 50 mm, E = 70 GPa, tensão admissível 80 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga P_max.

barra: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço de latão está engastado na parede e é torcido por um torque T na extremidade livre. Encontre o ângulo de torção φ da extremidade livre, em graus.

T = 100 N·md = 40 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 30 kW a 1450 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 4 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 4 kN/m de 0 a 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

60 kN @ 0 m35 kN @ 12 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 200 mm × 300 mm tem um furo circular de diâmetro 40 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 180 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 300 mmd = 40 mmcentro do furo: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

A seção T é usada como viga com a mesa em cima e suporta um momento fletor positivo de 50 kN·m. Encontre o valor da tensão de flexão σ_topo na borda superior.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 50 kN·m

σ_topo = MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto tem σₓ = 100 MPa, σᵧ = −80 MPa e τₓᵧ = 60 MPa (tração positiva). Encontre o ângulo θ_s, entre −90° e 90°, do eixo x até a normal do plano em que a tensão de cisalhamento tem seu valor máximo positivo +R (cisalhamento positivo no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um tanque cilíndrico de parede fina com diâmetro interno de 1000 mm e espessura de parede de 6 mm contém gás a uma pressão manométrica de 1 MPa. Ele é feito de chapa soldada ao longo de uma costura helicoidal a 35° do eixo do cilindro. Encontre a tensão normal σ_n que atua através da costura de solda.

D = 1000 mmt = 6 mmp = 1 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 15 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre a reação R_B no apoio B.

L = 3 mP = 15 kN em 1,5 m

R_B = kN

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado nas duas extremidades. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (aço)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Ele deve suportar 80 kN com um fator de segurança de 2 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 80 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 45,47 mm

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for alumínio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 1061/70000 = 0,01516 = 15158 µε

Alongamento

δ = ε·L = 0,01516·3000 mm = 45,47 mm

Resposta

δ = 45,47 mm

2.Tensão e deformação axial

Resposta: P_max = 380,1 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·5890 = 4,752 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,0008, 0,001143) = 0,0008 (aço)

Maior carga

P_max = 0,0008·4,752 × 10⁸ = 380133 N = 380,1 kN

Resposta

P_max = 380,1 kN

3.Torção de eixos

Resposta: φ = 1,754 °

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Momento polar de inércia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ângulo de torção

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(39000·251327) = 0,03061 rad

φ = 0,03061·180/π = 1,754°

Resposta

φ = 1,754°

4.Torção de eixos

Resposta: d = 27,2 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·50)) = 27,2 mm

Resposta

d = 27,2 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 8 kN·m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Corte em x = 4 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 10·4 − 4·4·2 = 8 kN·m

Resposta

M_x = 8 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 96,67 kN, R₂ = 58,33 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = −120, M_C = −46,67, M_D = −93,33, M_E = −140 kN·m, M_F = −70, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = −140 kN·m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (60000·150 − 1257·180)/(60000 − 1257) = 149,4 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·300³/12 + 60000·0,6418² = 450 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·40⁴/64 + 1257·30,64² = 1,306 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: σ_topo = 247,9 MPa

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em dois retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

alma: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·127,5 + 1200·60)/4200 = 108,2 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa: 200·15³/12 + 3000·(127,5 − 108,2)² = 1,172 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·120³/12 + 1200·(60 − 108,2)² = 4,23 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,172 × 10⁶ + 4,23 × 10⁶ = 5,402 × 10⁶ mm⁴

Tensão de flexão

A borda superior está a h − ȳ do eixo.

y = 135 − 108,2 = 26,79 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·26,79/5,402 × 10⁶ = 247,9 MPa

Resposta

σ_topo = 247,9 MPa

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_s = −28,15 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr o ponto do topo (+R) está a 90° do ponto principal σ₁; no elemento isso corresponde a 45°.

cos 2θ_s = 60/108,2 = 0,5547, sin 2θ_s = −90/108,2 = −0,8321

2θ_s = atan2(−90, 60) = −56,31°

Ângulo no elemento

θ_s = −28,15°

verificação: θ_s − θ_p = −28,15 − 16,85 = −45°

Resposta

θ_s = −28,15°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: σ_n = 69,63 MPa

Tensões na parede

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1·500/6 = 83,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 41,67 MPa

Transforme para a costura

Tome x ao longo do eixo (σ_a) e y na direção circunferencial (σ_h). A normal da costura forma 90° − α com o eixo.

σ_n = 41,67·sin²35° + 83,33·cos²35° = 69,63 MPa

Resposta

σ_n = 69,63 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 3,767 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 15·1500⁴/(8·2,52 × 10¹²) = 3,767 mm

Resposta

δ = 3,767 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: R_B = 4,688 kN

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Resposta

R_B = 4,688 kN

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 24,22 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1250² = 24224 N = 24,22 kN

Resposta

P_cr = 24,22 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 73,69 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 73,69 mm

Resposta

d = 73,69 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 135,7, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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