Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Encontre a deformação axial ε na barra de latão, em microdeformação (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensão e deformação axialDifícil

Uma haste de aço (diâmetro 30 mm, E = 200 GPa, tensão admissível 120 MPa) está dentro de um tubo de cobre (diâmetro externo 80 mm, diâmetro interno 60 mm, E = 120 GPa, tensão admissível 50 MPa). Eles são comprimidos juntos entre placas rígidas. Encontre a maior carga P_max.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de latão está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 60 mm e comprimento 3 m; o trecho BC tem diâmetro 30 mm e comprimento 2,5 m. Um torque de 1000 N·m atua na extremidade livre C. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 30 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 5 kW a 500 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 50 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

Encontre o momento fletor M_x na seção x = 3 m a partir do apoio A. Use momentos positivos quando tracionam a face inferior e cortante para cima na face esquerda positivo.

L = 5 mw = 3 kN/m de 0 a 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga se apoia em um apoio fixo em A e em um apoio móvel em B e se estende 1 m além de B, em balanço, até a extremidade livre C. Uma carga uniformemente distribuída w atua em todo o comprimento A–C. Encontre a distância x_c de A até o ponto de inflexão entre os apoios (onde o momento fletor muda de sinal).

L = 7 mw = 10 kN/m de 0 a 7 mapoios em x = 0 e x = 6 m

x_c = m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Uma placa de 120 mm × 150 mm tem um furo circular de diâmetro 60 mm na sua linha de centro vertical, com o centro a 45 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro do furo: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Uma placa de 200 mm × 300 mm tem um recorte retangular de 30 mm de largura e 40 mm de altura, centrado na linha de centro vertical, com seu centro a 120 mm acima da base. Encontre o momento de inércia da área I_x em torno do eixo horizontal que passa pelo centroide.

b = 200 mmh = 300 mmrecorte: 30 × 40 mmcentro do furo: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 150 MPa, σᵧ = −50 MPa e τₓᵧ = 50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento máxima no plano τ_max.

σ_x = 150 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma placa fina está em estado plano de tensão: σₓ = −40 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). O material tem tensão de escoamento de 355 MPa. Encontre o fator de segurança n contra o escoamento pelo critério de Tresca (tensão de cisalhamento máxima).

σ_x = −40 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço suporta uma carga uniformemente distribuída w em todo o comprimento. Encontre a deflexão δ na extremidade livre.

w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (alumínio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga engastada e apoiada está engastada em A e simplesmente apoiada em B. Ela suporta uma carga concentrada P no meio do vão. EI é constante. Encontre o módulo do momento fletor M_A no engaste.

L = 4 mP = 45 kN em 2 m

M_A = kN·m

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (aço)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar de comprimento L feito de alumínio está engastado nas duas extremidades. Encontre sua esbeltez e a tensão crítica de flambagem σ_cr pela fórmula de Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (alumínio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: ε = 1426 µε

Lei de Hooke: no regime elástico σ = E·ε. Combinando com σ = P/A e ε = δ/L, obtém-se δ = PL/(AE).

Tensão

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/490,9 = 142,6 MPa

Deformação (lei de Hooke)

E for latão = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 142,6/100000 = 0,001426 = 1426 µε

Resposta

ε = 1426 µε

2.Tensão e deformação axial

Resposta: P_max = 168,9 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·2199 = 4,053 × 10⁸ N

Deformação governante

ε = min(0,0006, 0,0004167) = 0,0004167 (cobre)

Maior carga

P_max = 0,0004167·4,053 × 10⁸ = 168861 N = 168,9 kN

Resposta

P_max = 168,9 kN

3.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 188,6 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Tensão em cada trecho

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23,58 MPa

τ_BC = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188,6 MPa

Resposta

τ_max = 188,6 MPa

4.Torção de eixos

Resposta: d = 21,35 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·95493/(π·50)) = 21,35 mm

Resposta

d = 21,35 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: M_x = 9 kN·m

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, atuando em x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 3·5·2,5

R_B = 37,5/5 = 7,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 7,5 = 7,5 kN

Corte em x = 3 m e fique com a parte esquerda

Só aparecem as forças à esquerda do corte. Uma parte da carga distribuída age como uma única força no meio dessa parte.

M = R_A·x − (cada carga à esquerda do corte × sua distância até o corte)

M_x = 7,5·3 − 3·3·1,5 = 9 kN·m

Resposta

M_x = 9 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x_c = 5,833 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira, incluindo a carga no balanço.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 10·7 = 70 kN, atuando em x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·7·3,5

R_B = 245/6 = 40,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 40,83 = 29,17 kN

Momento nulo

Entre os apoios M(x) = R_A·x − w·x²/2. Além de x = 0, ele é zero em x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·29,17/10 = 5,833 m

Resposta

x_c = 5,833 m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 30,09 × 10⁶ mm⁴

Seções com furos: trate um furo como uma área negativa. O centroide é ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), com A₁, y₁ para a placa inteira e A₂, y₂ para o furo. Para o momento de inércia da área (segundo momento de área) em torno do eixo que passa pelo centroide, use o teorema dos eixos paralelos para cada parte e subtraia o furo: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), em que d é a distância do centroide próprio de cada parte ao eixo que passa por ȳ. Um retângulo tem I_c = bh³/12 e um círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 2827·45)/(18000 − 2827) = 80,59 mm

Placa inteira em torno de ȳ

120·150³/12 + 18000·−5,591² = 34,31 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

π·60⁴/64 + 2827·−35,59² = 4,218 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 30,09 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 30,09 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (60000·150 − 1200·120)/(60000 − 1200) = 150,6 mm

Placa inteira em torno de ȳ

200·300³/12 + 60000·−0,6122² = 450 × 10⁶ mm⁴

Furo em torno de ȳ

30·40³/12 + 1200·−30,61² = 1,285 × 10⁶ mm⁴

Subtraia

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 448,7 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_max = 111,8 MPa

Raio do círculo de Mohr

τ_max = R = √(((150 − −50)/2)² + 50²) = 111,8 MPa

Resposta

τ_max = 111,8 MPa

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: n = 4,009

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R. Critérios de escoamento: von Mises prevê escoamento quando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) atinge σ_Y; Tresca quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge σ_Y/2.

Tensões principais

C = −55 MPa, R = 33,54 MPa

σ₁ = −21,46 MPa, σ₂ = −88,54 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 88,54 MPa

n = 355/88,54 = 4,009

Resposta

n = 4,009

n > 1 significa que o ponto não escoa; Tresca é um pouco mais conservador que von Mises.

11.Deflexão da viga

Resposta: δ = 12,13 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Deflexão

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 12,13 mm

Resposta

δ = 12,13 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: M_A = 33,75 kN·m

Retire o apoio

Sem o apoio a viga é um balanço. Sua extremidade livre defletiria sob a carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidade no apoio

A força do apoio R_B sozinha levanta a extremidade livre em R_BL³/(3EI). O apoio mantém B com deflexão zero, então as duas devem se anular. EI se cancela.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·45/16 = 14,06 kN

Momento no engaste

Momentos em relação a A das cargas e da força do apoio.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 90 − 56,25 = 33,75 kN·m

Resposta

M_A = 33,75 kN·m

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 284,8 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/2100² = 284752 N = 284,8 kN

Resposta

P_cr = 284,8 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: σ_cr = 17,27 MPa

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Raio de giração e esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/5 = 200

Tensão crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

Resposta

σ_cr = 17,27 MPa

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