Resistência dos Materiais: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 14 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Tensão e deformação axial

Tensão normal: σ = F/A
Deformação: ε = ΔL/L
Lei de Hooke: σ = E·ε
Alongamento: ΔL = FL/(EA)
Deformação térmica: ε_T = α·ΔT

Torção de eixos

Tensão de cisalhamento: τ = T·r/J
Eixo maciço: J = πd⁴/32
Eixo vazado: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ)
Potência: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Encontre o momento polar de inércia: J = πd⁴/32 para um eixo maciço.
Tensão de cisalhamento na superfície: τ = T·r/J, com r o raio externo.
Ângulo de torção: φ = TL/(GJ) em radianos.
Se a potência for dada, encontre primeiro o torque com P = T·ω, ω = 2πn/60.

Esforço cortante e momento fletor

Cortante e momento: V = ΣF de um lado, M = ΣF·d de um lado
Tensão de flexão: σ = M·y/I
Retângulo: I = bh³/12
Módulo de resistência: W = I/y_max
Viga biapoiada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Encontre as reações de apoio pelo equilíbrio da viga inteira.
Corte a viga na seção de que você precisa e fique com um dos lados.
Esforço cortante: soma das forças verticais daquele lado. Momento fletor: soma dos momentos dessas forças em relação ao corte.
Para o momento máximo, encontre onde o esforço cortante é zero.

Centroide e momento de inércia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Retângulo: I = bh³/12
Teorema dos eixos paralelos: I = I_c + A·d²
Seção composta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr e transformação de tensões

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Raio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensões principais: σ_1,2 = C ± R
Direção principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcule o centro do círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcule o raio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
As tensões principais são C ± R e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.
Os ângulos no círculo são o dobro dos ângulos no elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Deflexão da viga

Carga concentrada no meio do vão: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoiada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Balanço, carga na ponta: δ = PL³/(3EI)
Balanço, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposição: δ = δ₁ + δ₂

Flambagem de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Fator de comprimento efetivo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 engastado–engastado, 0,7 engastado–articulado, 2 engastado–livre
Tensão crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Exercícios

1.Tensão e deformação axialMédia

Uma barra é feita de um trecho de aço (diâmetro 30 mm, comprimento 600 mm, E = 200 GPa) unido topo a topo a um trecho de cobre (diâmetro 40 mm, comprimento 500 mm, E = 120 GPa). Ela é fixa em uma extremidade e puxada na outra. Encontre a carga axial P que a alonga 0,25 mm no total.

trecho 1: aço, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPatrecho 2: cobre, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensão e deformação axialDifícil

A barra escalonada está engastada na parede e carregada na extremidade livre. Encontre o alongamento total δ.

P = 100 kNtrecho 1: Ø40 mm, 2 m, alumínio (E = 70 GPa)trecho 2: Ø12 mm, 1 m, aço (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torção de eixosMédia

Um eixo maciço escalonado de alumínio está fixo em A. O trecho AB tem diâmetro 40 mm e comprimento 1,5 m; o trecho BC tem diâmetro 30 mm e comprimento 2 m. Um torque de 400 N·m atua na extremidade livre C. Encontre a tensão de cisalhamento máxima τ_max no eixo.

T = 400 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.Torção de eixosDifícil

Um eixo maciço deve transmitir 5 kW a 750 rpm sem que a tensão de cisalhamento passe de 75 MPa. Encontre o menor diâmetro d que funciona.

P = 5 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Esforço cortante e momento fletorMédia

As marcas A a G dividem a viga em seis partes iguais. Em qual marca o momento fletor é maior em valor absoluto, positivo ou negativo? Clique nela no diagrama.

55 kN @ 8 m10 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Esforço cortante e momento fletorDifícil

A viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída sobre parte do vão. Encontre a distância x₀ de A até a seção onde o momento fletor é máximo.

L = 6 mw = 4 kN/m de 0 a 2 m

x₀ = m

7.Centroide e momento de inérciaMédia

Um tubo circular tem diâmetro externo D = 270 mm e diâmetro interno d = 242 mm. Encontre seu raio de giração r em relação ao eixo centroidal horizontal.

D = 270 mmd = 242 mm

r = mm

8.Centroide e momento de inérciaDifícil

Um perfil I soldado tem mesa superior de 120 × 14 mm, alma de 380 mm de altura e 16 mm de espessura, e mesa inferior de 260 × 16 mm (largura × espessura). Encontre seu momento de inércia I_x em relação ao eixo horizontal x que passa pelo centroide.

mesa superior: 120 × 14 mmalma: 16 × 380 mmmesa inferior: 260 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensõesMédia

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = 160 MPa, σᵧ = 60 MPa e τₓᵧ = −20 MPa (tração positiva). Calcule o ângulo θ_p do eixo x até a direção da maior tensão principal, entre −90° e 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr e transformação de tensõesDifícil

Um ponto de uma peça carregada tem σₓ = −70 MPa, σᵧ = −70 MPa e τₓᵧ = −50 MPa (tração positiva). Calcule a tensão de cisalhamento τ_θ em um plano cuja normal está girada 50° no sentido anti-horário a partir do eixo x (positiva no mesmo sentido de τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.Deflexão da vigaMédia

Uma viga em balanço de comprimento L está engastada em A e suporta uma carga concentrada P a uma distância a = 1,5 m de A. Encontre a deflexão δ_B na extremidade livre B.

P = 17 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 200 GPa (aço)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Deflexão da vigaDifícil

Uma viga simplesmente apoiada suporta uma carga uniformemente distribuída w. Sua deflexão não pode passar de vão/360. Encontre o menor momento de inércia I_req que atende a esse limite.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madeira estrutural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilaresMédia

Um pilar de comprimento L feito de aço está engastado na base e articulado no topo. Usando a fórmula de Euler, encontre sua carga crítica de flambagem P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (aço)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Flambagem de pilaresDifícil

Um pilar circular maciço de comprimento L feito de alumínio está engastado na base e articulado no topo. Ele deve suportar 90 kN com um fator de segurança de 3 contra flambagem. Encontre o menor diâmetro d.

P = 90 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (alumínio)

d = mm

3Soluções

1.Tensão e deformação axial

Resposta: P = 33,07 kN

Dois materiais: em série (um após o outro), cada trecho suporta a mesma força e os alongamentos se somam: δ = P·Σ L/(E·A). Em paralelo (lado a lado entre placas rígidas), as duas partes encurtam o mesmo tanto, de modo que suas deformações são iguais: a parte mais rígida assume a maior fatia, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, e σ_i = E_i·ε. Uma barra presa entre duas paredes rígidas com uma carga na junção é estaticamente indeterminada: os dois trechos dividem a carga na proporção da sua rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,25/7,56 × 10⁻⁶ = 33069 N = 33,07 kN

Resposta

P = 33,07 kN

2.Tensão e deformação axial

Resposta: δ = 6,695 mm

Barras com carga axial: cada trecho prismático obedece a δ = PL/(AE). Para barras em série, os alongamentos se somam.

A mesma força nos dois trechos

A extremidade livre suporta P, então toda seção da barra suporta a mesma força axial P. Só as áreas e os materiais mudam.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 79,58 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Some os alongamentos dos trechos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 79,58·2000/70000 = 2,274 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 884,2·1000/200000 = 4,421 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,695 mm

Resposta

δ = 6,695 mm

3.Torção de eixos

Resposta: τ_max = 75,45 MPa

Torção de eixos circulares: a tensão de cisalhamento cresce linearmente de zero no centro até τ_max = T·r/J na superfície, com J = πd⁴/32 para um eixo maciço e J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para um vazado. O ângulo de torção é φ = TL/(GJ) em radianos. Potência e torque se relacionam por P = T·ω.

Tensão em cada trecho

T = 400 N·m = 400000 N·mm

τ_AB = 16·400000/(π·40³) = 31,83 MPa

τ_BC = 16·400000/(π·30³) = 75,45 MPa

Resposta

τ_max = 75,45 MPa

4.Torção de eixos

Resposta: d = 16,29 mm

Torque

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diâmetro a partir da tensão admissível

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·63662/(π·75)) = 16,29 mm

Resposta

d = 16,29 mm

Na prática você arredondaria para o próximo tamanho padrão.

5.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: E (x = 8 m)

Maior momento fletor: M muda de inclinação onde quer que a força cortante mude, então seus picos ficam onde a força cortante cruza o zero: sob uma carga pontual, dentro de uma carga distribuída ou sobre um apoio de um balanço. No engaste de uma viga em balanço, o momento é maior na parede. Compare o tamanho de M nesses lugares, positivo ou negativo.

Reações de apoio

Tome momentos em torno de um apoio e depois use o equilíbrio das forças verticais.

R₁ = 45 kN, R₂ = 90 kN

Momento fletor em cada marca

Some os momentos de todas as forças de um lado do corte. O momento que traciona embaixo é positivo, o que traciona em cima é negativo.

M_A = 0, M_B = 90, M_C = 180, M_D = 250, M_E = 280 kN·m, M_F = 160, M_G = 0

Resposta

Marca E: M_E = 280 kN·m

6.Esforço cortante e momento fletor

Resposta: x₀ = 1,667 m

Método das seções: corte a viga onde você quer os esforços internos e fique com um lado. O esforço cortante V equilibra as forças verticais desse lado, e o momento fletor M equilibra os momentos delas em relação ao corte. Momento máximo: como dM/dx = V, o momento fletor atinge seu pico onde o esforço cortante passa por zero, seja em uma carga concentrada, seja dentro de uma carga distribuída.

Reações de apoio

Equilíbrio da viga inteira.

Resultante da carga distribuída: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, atuando em x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·2·1

R_B = 8/6 = 1,333 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 1,333 = 6,667 kN

Cortante nulo

O esforço cortante começa em R_A, fica constante em qualquer trecho descarregado e cai com inclinação w dentro da carga.

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 6,667/4 = 1,667 m

Resposta

x₀ = 1,667 m

7.Centroide e momento de inércia

Resposta: r = 90,64 mm

Momento de inércia de área: para um retângulo em relação ao seu próprio eixo centroidal I = bh³/12, e em relação à sua base bh³/3 (teorema dos eixos paralelos I = I_c + A·d²). Um furo é tratado subtraindo seu I, desde que as duas partes usem o mesmo eixo. O módulo de resistência elástico é S = I/c, onde c é a distância até a fibra mais afastada. O raio de giração r = √(I/A) é a distância na qual toda a área daria o mesmo I; ele é usado na flambagem de pilares.

Área e momento de inércia líquidos

A = π(D² − d²)/4 = 11259 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 9,251 × 10⁷ mm⁴

Raio de giração

r = √(I/A) = √(9,251 × 10⁷/11259) = 90,64 mm

Resposta

r = 90,64 mm

8.Centroide e momento de inércia

Resposta: I_x = 281,2 × 10⁶ mm⁴

Áreas compostas: divida a seção em retângulos. O centroide é a média ponderada pelas áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. O momento de inércia em relação ao eixo centroidal soma o bh³/12 próprio de cada parte e seu termo de eixos paralelos A·d², onde d é a distância do centroide da parte ao centroide geral. A tensão de flexão é σ = M·y/I.

Divida em três retângulos

Meça todo y a partir da borda inferior.

mesa superior: A = 1680 mm², y = 403 mm

alma: A = 6080 mm², y = 206 mm

mesa inferior: A = 4160 mm², y = 8 mm

Centroide

ȳ = (1680·403 + 6080·206 + 4160·8)/11920 = 164,7 mm

Teorema dos eixos paralelos

mesa superior: 120·14³/12 + 1680·238,3² = 9,546 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·380³/12 + 6080·41,34² = 8,355 × 10⁷ mm⁴

mesa inferior: 260·16³/12 + 4160·156,7² = 1,022 × 10⁸ mm⁴

I_x = 9,546 × 10⁷ + 8,355 × 10⁷ + 1,022 × 10⁸

I_x = 2,812 × 10⁸ mm⁴ = 281,2 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_x = 281,2 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: θ_p = −10,9 °

Transformação do estado plano de tensões: em um plano girado de θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. O círculo de Mohr mostra todos os planos de uma vez: seu centro está em C = (σₓ + σᵧ)/2 e seu raio é R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). As tensões principais são C ± R, e a maior tensão de cisalhamento no plano é R.

Ângulo no círculo

No círculo de Mohr, o ponto x fica a um ângulo 2θp do eixo σ; o quadrante decorre dos sinais de σₓ − σᵧ e τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 160 − 60) = −21,8°

Ângulo no elemento

θ_p = −10,9°

Resposta

θ_p = −10,9°

Ângulos positivos são no sentido anti-horário.

10.Círculo de Mohr e transformação de tensões

Resposta: τ_θ = 8,682 MPa

Equação de transformação

τ_θ = −0·0,9848 + −50·−0,1736 = 8,682 MPa

Resposta

τ_θ = 8,682 MPa

11.Deflexão da viga

Resposta: δ_B = 2,516 mm

Deflexão de vigas: as deflexões vêm de integrar duas vezes a curvatura M/(EI). Os casos padrão são tabelados, por exemplo PL³/(3EI) para um balanço com carga na ponta e 5wL⁴/(384EI) para uma viga simplesmente apoiada com carga uniforme em todo o vão. Deflexões de cargas separadas se somam (superposição).

Unidades consistentes

Trabalhe em N e mm: P em N, w em N/mm (kN/m = N/mm), L em mm, E em N/mm² (GPa × 1000), I em mm⁴.

P = 17000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Deflexão na extremidade livre

Deflexão na carga mais a rotação na carga vezes o comprimento restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 1,678 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001678 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,516 mm

Resposta

δ_B = 2,516 mm

12.Deflexão da viga

Resposta: I_req = 23,01 × 10⁶ mm⁴

Limite de deflexão

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Momento de inércia necessário

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·8,333) = 2,301 × 10⁷ mm⁴

I_req = 23,01 × 10⁶ mm⁴

Resposta

I_req = 23,01 × 10⁶ mm⁴

13.Flambagem de pilares

Resposta: P_cr = 160,2 kN

Flambagem de Euler: um pilar esbelto fica instável em P_cr = π²EI/(KL)², onde KL é o comprimento efetivo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para engastado–livre, 0,7 para engastado–articulado e 0,5 para engastado–engastado. Ele flamba em torno do eixo com o menor I. A fórmula vale para pilares esbeltos, cuja tensão crítica fica abaixo da tensão de escoamento.

Menor momento de inércia

Uma seção circular tem o mesmo I em relação a qualquer eixo.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Comprimento efetivo

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/700² = 160173 N = 160,2 kN

Resposta

P_cr = 160,2 kN

14.Flambagem de pilares

Resposta: d = 99,38 mm

Carga crítica necessária

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Resolva para o diâmetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 99,38 mm

Resposta

d = 99,38 mm

Verificação: a esbeltez KL/r é 140,9, então o pilar é esbelto e Euler se aplica.

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