Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Sequências e séries
Sequência aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência
R = lim |ck/ck+1|
Polinômio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrizes e determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores próprios
det(A − λI) = 0
Regra de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equações diferenciais
Crescimento/decaimento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Meia-vida
k = ln 2 / t½
Lei de resfriamento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fator integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tanque de mistura
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercícios
1.Métodos numéricosMédia
A regra do trapézio é usada para ∫01 sin x dx. O erro é no máximo (b − a)³·M/(12n²) com M = max|f″| em [0, 1]. Encontre o menor número de faixas n que garante um erro abaixo de 1 × 10⁻⁵.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
2.Métodos numéricosDifícil
Use o método de Heun (Euler melhorado) com h = 0,2 para y′ = y(2 − y), y(0) = 0,5 para estimar y2 ≈ y(0,4).
y′ = y(2 − y)y(0) = 0,5h = 0,2
y2 =
3.Sequências e sériesMédia
Aplique o teste da razão a Σk=1∞ k!/kᵏ. Encontre L = lim |ak+1/ak|.
ak = k!/kᵏ
L =
4.Sequências e sériesDifícil
f(x) = cos x é aproximada pelo seu polinômio de Maclaurin de grau 4 em x = 1. Use a cota de erro de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! com M = 1 para encontrar o maior erro possível |R₄|.
f(x) = cos xn = 4x = 1M = 1
|R₄| =
5.Matrizes e determinantesMédia
Seja C = AB para as matrizes apresentadas. Calcule o elemento c21 (linha 2, coluna 1).
A = [2 3; −5 2]B = [4 6; 4 2]
c21 =
6.Matrizes e determinantesDifícil
Calcule o maior valor próprio λ da matriz A apresentada.
A = [−2 −3; −1 0]
λ =
7.Equações diferenciaisMédia
Uma peça de aço forjado a 400 °C é deixada esfriando em uma oficina a 30 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Com k = 0,05 min⁻¹, encontre a sua temperatura T após 33 min.
T0 = 400 °CTa = 30 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 33 min
T = °C
8.Equações diferenciaisDifícil
Resolva y″ + 2y′ + 26y = 0 com y(0) = 3 e y′(0) = 0 (solto a partir do repouso). Encontre y(0,75); ângulos em radianos.
y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.75) =
3Soluções
1.Métodos numéricos
Resposta: n = 84
Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.
Cota da segunda derivada
M = sin 1 = 0,8415
Resolver em ordem a n
n² > 1·0,8415/(12·1 × 10⁻⁵) = 7012
n > 83,74 → n = 84
Resposta
n = 84
2.Métodos numéricos
Resposta: y2 = 0,8488
Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.
Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.
Razão entre termos consecutivos
|ak+1/ak| = (k/(k + 1))ᵏ = (1 + 1/k)ᵏ → 1/e
Conclusão
L = 0,3679 < 1
Resposta
L = 0,3679
L < 1, então a série converge.
4.Sequências e séries
Resposta: |R₄| = 0,008333
Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.
Cota para a derivada
M = 1
Cota de Lagrange
|R₄| ≤ 1·1⁵/5! = 0,008333
Resposta
|R₄| = 0,008333
O erro verdadeiro é menor: |f(1) − P₄(1)| = 0,001364.
5.Matrizes e determinantes
Resposta: c21 = −12
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Linha vezes coluna
c21 = (−5)·4 + 2·4 = −12
Resposta
c21 = −12
6.Matrizes e determinantes
Resposta: λ = 1
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Equação característica
λ² − (−2)λ + (−3) = 0
Resolva
λ = (−2 ± √(16))/2 → λ = −3, 1
λ = 1
Resposta
λ = 1
7.Equações diferenciais
Resposta: T = 101,1 °C
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Solução da lei de resfriamento
T(t) = 30 + 370·e−0,05t
Substituir t
T(33) = 30 + 370·0,192 = 101,1 °C
Resposta
T = 101,1 °C
8.Equações diferenciais
Resposta: y(0.75) = −1,325
Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = ert: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·er₁t + B·er₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·ert (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.