Métodos Numéricos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 8 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Métodos numéricos

Bissecção: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Interpolação linear: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
Cota do erro do trapézio: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
Euler: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Heun: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

Método

Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.

Sequências e séries

Sequência aritmética: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência: R = lim |c_k/c_k+1|
Polinômio de Taylor: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Método

Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Matrizes e determinantes

determinante 2×2: det = ad − bc
Inversa 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produto: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
Valores próprios: det(A − λI) = 0
Regra de Cramer: x_i = det(A_i)/det(A)

Equações diferenciais

Crescimento/decaimento exponencial: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
Meia-vida: k = ln 2 / t_½
Lei de resfriamento de Newton: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
Fator integrante: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
Tanque de mistura: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2Exercícios

1.Métodos numéricosMédia

Aproxime ∫₀¹ e^−x² dx com a regra do trapézio usando n = 2 faixas. Dê T.

f(x) = e^−x²[a, b] = [0, 1]n = 2

T =

2.Métodos numéricosDifícil

Use o método de Euler com h = 0,25 para y′ = y(2 − y), y(0) = 0,2 para estimar y₅ ≈ y(1,25).

y′ = y(2 − y)y(0) = 0,2h = 0,25

y₅ =

3.Sequências e sériesMédia

A série de potências Σ_k=1^∞ (2k)!·(x − 2)ᵏ/(k!)² converge num intervalo em torno de x₀ = 2. Encontre a extremidade direita x desse intervalo.

Σ (2k)!·(x − 2)ᵏ/(k!)²x₀ = 2

x =

4.Sequências e sériesDifícil

Use o polinômio de Maclaurin de grau 5 de f(x) = sin x para aproximar f(2). Dê P₅(2).

f(x) = sin xn = 5x = 2

P₅(2) =

5.Matrizes e determinantesMédia

Seja C = AB para as matrizes apresentadas. Calcule o elemento c₂₂ (linha 2, coluna 2).

A = [−5 −5; 3 −1]B = [4 −3; 6 5]

c₂₂ =

6.Matrizes e determinantesDifícil

Resolva o sistema 6x − 5y = 6 e 6x − 6y = −12. Calcule x.

6x − 5y = 66x − 6y = −12

x =

7.Equações diferenciaisMédia

Resolva y″ + 6y′ + 8y = 0 com y(0) = 3 e y′(0) = 0. Encontre y(2).

y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(2) =

8.Equações diferenciaisDifícil

Um sistema obedece a y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25 para t ≥ 0, partindo do repouso: y(0) = 0, y′(0) = 0. Encontre y(1,5); ângulos em radianos.

y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25y(0) = 0y′(0) = 0

y(1.5) =

3Soluções

1.Métodos numéricos

Resposta: T = 0,7314

Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.

Nós e valores

h = 0,5

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,778801 + 0,367879 = 2,925481

Regra do trapézio

T = (0,5/2)·2,925481 = 0,7314

Resposta

T = 0,7314

Esta integral não tem primitiva elementar, que é justamente quando uma regra numérica é necessária.

2.Métodos numéricos

Resposta: y₅ = 1,022

Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.

Passos de Euler

y₁ = 0,2 + 0,25·(0,36) = 0,29

y₂ = 0,29 + 0,25·(0,4959) = 0,413975

y₃ = 0,413975 + 0,25·(0,656575) = 0,578119

y₄ = 0,578119 + 0,25·(0,822016) = 0,783623

y₅ = 0,783623 + 0,25·(0,953181) = 1,021918

Gráfico

y₅ = 1,022

Resposta

y₅ = 1,022

O valor exato é y(1,25) = 1,150242.

3.Sequências e séries

Resposta: x = 2,25

Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |a_k+1/a_k|; teste da raiz: L = lim |a_k|^1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σc_k(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |c_k/c_k+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.

Coeficientes

c_k+1/c_k = (2k + 2)(2k + 1)/(k + 1)² → 4, portanto R = 1/4

Raio

R = 0,25

Intervalo

1,75 < x < 2,25

x = 2,25

Resposta

x = 2,25

O teste da razão nada diz nos dois extremos; eles precisam ser verificados separadamente.

4.Sequências e séries

Resposta: P₅(2) = 0,9333

Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.

Polinômio de Maclaurin

P₅(x) = x − 0,1667x³ + 0,008333x⁵

Substituir

P₅(2) = 2 − 1,333333 + 0,266667 = 0,9333

Resposta

P₅(2) = 0,9333

O valor exato é f(2) = 0,909297; o erro −0,0240359 diminui quando você toma mais termos ou um ponto mais próximo de 0.

5.Matrizes e determinantes

Resposta: c₂₂ = −14

Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.

Linha vezes coluna

c₂₂ = 3·(−3) + (−1)·5 = −14

Resposta

c₂₂ = −14

6.Matrizes e determinantes

Resposta: x = 16

Determinante da matriz dos coeficientes

det A = 6·(−6) − (−5)·6 = −6

Substituir a coluna de x

det Aₓ = 6·(−6) − (−5)·(−12) = −96

x = −96/(−6) = 16

Resposta

x = 16

y = 18

7.Equações diferenciais

Resposta: y(2) = 0,1089

Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = e^rt: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·e^rt (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e^−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0, ω_n é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.

Raízes características

(r + 2)(r + 4) = 0 → r = −2, −4

Constantes a partir dos valores iniciais

A + B = 3, −2A − 4B = 0

A = 6, B = −3

Calcular

y(2) = 6·e⁻⁴ + (−3)·e⁻⁸ = 0,1089

Resposta

y(2) = 0,1089

8.Equações diferenciais

Resposta: y(1.5) = 0,9338

Valor estacionário e raízes

y_ss = 1, r = −1,5 ± 5j

Constantes a partir dos valores iniciais

y(0) = 1 + A = 0 → A = −1

y′(0) = −1,5A + 5B = 0 → B = −0,3

Calcular

y(1,5) = 1·(1 − e^−2,25(cos 7,5 + 0,3·sin 7,5)) = 0,9338

Resposta

y(1,5) = 0,9338

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