Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Sequências e séries
Sequência aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência
R = lim |ck/ck+1|
Polinômio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrizes e determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores próprios
det(A − λI) = 0
Regra de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equações diferenciais
Crescimento/decaimento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Meia-vida
k = ln 2 / t½
Lei de resfriamento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fator integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tanque de mistura
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercícios
1.Métodos numéricosMédia
Aproxime ∫01 sin x dx com a regra do trapézio, n = 4, e compare com o valor exato. Encontre o erro absoluto |E| = |T − I|.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 1]n = 4
|E| =
2.Métodos numéricosDifícil
Use o método de Euler com h = 0,1 para y′ = −2ty, y(0) = 0,5 para estimar y3 ≈ y(0,3).
y′ = −2tyy(0) = 0,5h = 0,1
y3 =
3.Sequências e sériesMédia
A série de potências Σk=1∞ k²·5ᵏ·(x − 2)ᵏ converge num intervalo em torno de x₀ = 2. Encontre a extremidade direita x desse intervalo.
Σ k²·5ᵏ·(x − 2)ᵏx₀ = 2
x =
4.Sequências e sériesDifícil
f(x) = ln(1 + x) é aproximada pelo seu polinômio de Maclaurin de grau 4 em x = 0,2. Use a cota de erro de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! com M = 4! = 24 para encontrar o maior erro possível |R₄|.
f(x) = ln(1 + x)n = 4x = 0,2M = 24
|R₄| =
5.Matrizes e determinantesMédia
Calcule o determinante det A da matriz 3×3 A apresentada.
A = [−4 4 −1; −1 4 −3; 3 −3 3]
det A =
6.Matrizes e determinantesDifícil
Resolva o sistema 4x + 5y = −8 e 5x − y = 6. Calcule x.
4x + 5y = −85x − y = 6
x =
7.Equações diferenciaisMédia
Uma lata de refrigerante a 6 °C é tirada da geladeira e levada para uma sala a 24 °C. Após 10 min sua temperatura é 11 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Encontre a constante k em min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(10) = 11 °C
k = min⁻¹
8.Equações diferenciaisDifícil
Um sistema obedece a y″ + 4y′ + 20y = 20 para t ≥ 0, partindo do repouso: y(0) = 0, y′(0) = 0. Encontre o valor de pico ymax da sua resposta ao degrau.
y″ + 4y′ + 20y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3Soluções
1.Métodos numéricos
Resposta: |E| = 0,002397
Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.
Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.
Passos de Euler
y₁ = 0,5 + 0,1·(0) = 0,5
y₂ = 0,5 + 0,1·(−0,1) = 0,49
y₃ = 0,49 + 0,1·(−0,196) = 0,4704
Gráfico
y3 = 0,4704
Resposta
y3 = 0,4704
O valor exato é y(0,3) = 0,456966.
3.Sequências e séries
Resposta: x = 2,2
Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.
Coeficientes
ck/ck+1 = (1/5)·(k/(k + 1))² → 1/5
Raio
R = 0,2
Intervalo
1,8 < x < 2,2
x = 2,2
Resposta
x = 2,2
O teste da razão nada diz nos dois extremos; eles precisam ser verificados separadamente.
4.Sequências e séries
Resposta: |R₄| = 6,4 × 10⁻⁵
Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.
Cota para a derivada
M = 4! = 24
Cota de Lagrange
|R₄| ≤ 24·0,2⁵/5! = 6,4 × 10⁻⁵
Resposta
|R₄| = 6,4 × 10⁻⁵
O erro verdadeiro é menor: |f(0,2) − P₄(0,2)| = 5,489 × 10⁻⁵.
5.Matrizes e determinantes
Resposta: det A = −27
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Menores 2×2 da primeira linha
M₁₁ = 3, M₁₂ = 6, M₁₃ = −9
Desenvolvimento por cofatores
det A = (−4)·3 − 4·6 + (−1)·(−9) = −27
Resposta
det A = −27
6.Matrizes e determinantes
Resposta: x = 0,7586
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Determinante da matriz dos coeficientes
det A = 4·(−1) − 5·5 = −29
Substituir a coluna de x
det Aₓ = (−8)·(−1) − 5·6 = −22
x = −22/(−29) = 0,7586
Resposta
x = 0,7586
y = −2,207
7.Equações diferenciais
Resposta: k = 0,03254 min⁻¹
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Razão das diferenças de temperatura
e−10k = -13/-18
Resolver para k
k = ln(-18/-13)/10 = 0,03254 min⁻¹
Resposta
k = 0,03254 min⁻¹
8.Equações diferenciais
Resposta: ymax = 1,208
Equações lineares de segunda ordem: para y″ + b·y′ + c·y = 0, tente y = ert: isso dá a equação característica r² + b·r + c = 0. Duas raízes reais r₁ ≠ r₂ dão y = A·er₁t + B·er₂t (superamortecido); uma raiz dupla r dá y = (A + Bt)·ert (amortecimento crítico); raízes complexas −α ± jω dão y = e−αt(A cos ωt + B sen ωt) (subamortecido, oscilante). Os valores iniciais y(0) e y′(0) determinam A e B. Escrita como y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0, ωn é a frequência natural e ζ o coeficiente de amortecimento: ζ < 1 oscila. Com uma entrada constante, y″ + by′ + cy = c·K, a solução é o valor estacionário K mais a resposta livre.