Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Sequências e séries
Sequência aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência
R = lim |ck/ck+1|
Polinômio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrizes e determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores próprios
det(A − λI) = 0
Regra de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equações diferenciais
Crescimento/decaimento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Meia-vida
k = ln 2 / t½
Lei de resfriamento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fator integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tanque de mistura
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercícios
1.Métodos numéricosMédia
A regra do trapézio é usada para ∫02 sin x dx. O erro é no máximo (b − a)³·M/(12n²) com M = max|f″| em [0, 2]. Encontre o menor número de faixas n que garante um erro abaixo de 0,0005.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
2.Métodos numéricosDifícil
Use o método de Euler com h = 0,2 para y′ = −2ty, y(0) = 1 para estimar y4 ≈ y(0,8).
y′ = −2tyy(0) = 1h = 0,2
y4 =
3.Sequências e sériesMédia
Encontre a soma S = Σk=119 12/(k(k + 1)).
ak = 12/(k(k + 1))n = 19
S =
4.Sequências e sériesDifícil
f(x) = cos x é aproximada em x = 1 pelo seu polinômio de Maclaurin de grau n. Com a cota de Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! e M = 1, encontre o menor grau n que garante um erro abaixo de 0,0005.
f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 0,0005
n =
5.Matrizes e determinantesMédia
Calcule o determinante det A da matriz 3×3 A apresentada.
A = [−2 −2 5; 5 −3 −5; −3 −3 −5]
det A =
6.Matrizes e determinantesDifícil
Resolva o sistema 4x − 6y = 5 e x − 2y = 7. Calcule x.
4x − 6y = 5x − 2y = 7
x =
7.Equações diferenciaisMédia
Uma xícara de café a 86 °C é deixada em uma sala a 24 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Com k = 0,11 min⁻¹, encontre a sua temperatura T após 14 min.
T0 = 86 °CTa = 24 °Ck = 0,11 min⁻¹t = 14 min
T = °C
8.Equações diferenciaisDifícil
Resolva o problema de valor inicial y′ + 2y/x = 4 para x > 0, com y(1) = 4. Encontre y(3).
y′ + 2y/x = 4y(1) = 4
y(3) =
3Soluções
1.Métodos numéricos
Resposta: n = 37
Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.
Cota da segunda derivada
M = |sin(π/2)| = 1
Resolver em ordem a n
n² > 8·1/(12·0,0005) = 1333
n > 36,51 → n = 37
Resposta
n = 37
2.Métodos numéricos
Resposta: y4 = 0,5873
Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.
Passos de Euler
y₁ = 1 + 0,2·(0) = 1
y₂ = 1 + 0,2·(−0,4) = 0,92
y₃ = 0,92 + 0,2·(−0,736) = 0,7728
y₄ = 0,7728 + 0,2·(−0,92736) = 0,587328
Gráfico
y4 = 0,5873
Resposta
y4 = 0,5873
O valor exato é y(0,8) = 0,527292.
3.Sequências e séries
Resposta: S = 11,4
Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.
Frações parciais
12/(k(k + 1)) = 12·(1/k − 1/(k + 1))
Cancelar
S = 12·(1 − 1/20) = 11,4
Resposta
S = 11,4
4.Sequências e séries
Resposta: n = 6
Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.
Cotas para n crescente
n = 5: 0,001389 ≥ 0,0005
n = 6: 0,0001984 < 0,0005
Menor grau
n = 6
Resposta
n = 6
5.Matrizes e determinantes
Resposta: det A = −200
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Menores 2×2 da primeira linha
M₁₁ = 0, M₁₂ = −40, M₁₃ = −24
Desenvolvimento por cofatores
det A = (−2)·0 − (−2)·(−40) + 5·(−24) = −200
Resposta
det A = −200
6.Matrizes e determinantes
Resposta: x = −16
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Determinante da matriz dos coeficientes
det A = 4·(−2) − (−6)·1 = −2
Substituir a coluna de x
det Aₓ = 5·(−2) − (−6)·7 = 32
x = 32/(−2) = −16
Resposta
x = −16
y = −11,5
7.Equações diferenciais
Resposta: T = 37,29 °C
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Solução da lei de resfriamento
T(t) = 24 + 62·e−0,11t
Substituir t
T(14) = 24 + 62·0,2144 = 37,29 °C
Resposta
T = 37,29 °C
8.Equações diferenciais
Resposta: y(3) = 4,296
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.