Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Sequências e séries
Sequência aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência
R = lim |ck/ck+1|
Polinômio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrizes e determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores próprios
det(A − λI) = 0
Regra de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equações diferenciais
Crescimento/decaimento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Meia-vida
k = ln 2 / t½
Lei de resfriamento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fator integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tanque de mistura
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercícios
1.Métodos numéricosMédia
A velocidade de um veículo é medida a cada 1 s (tabela). Estime a distância s percorrida de t = 0 a t = 6 s com a regra do trapézio.
h = 1 sn = 6
s = m
2.Métodos numéricosDifícil
Dê um passo do método clássico de Runge–Kutta (RK4) com h = 0,2 para y′ = e−ty, y(0) = 0. Encontre y₁ ≈ y(0,2).
y′ = e−tyy(0) = 0h = 0,2
y1 =
3.Sequências e sériesMédia
Exatamente uma das quatro séries converge. Clique nela.
A: Σ 3ᵏ/k²B: Σ 1/√kC: Σ (5/3)ᵏD: Σ (−1)ᵏ/√k
1A: Σ 3ᵏ/k²
2B: Σ 1/√k
3C: Σ (5/3)ᵏ
4D: Σ (−1)ᵏ/√k
4.Sequências e sériesDifícil
Use o polinômio de Maclaurin de grau 3 de f(x) = sin x para aproximar f(−1,5). Dê P₃(−1,5).
f(x) = sin xn = 3x = −1,5
P₃(−1.5) =
5.Matrizes e determinantesMédia
Seja C = AB para as matrizes apresentadas. Calcule o elemento c12 (linha 1, coluna 2).
A = [1 1; 0 5]B = [−1 6; 6 −5]
c12 =
6.Matrizes e determinantesDifícil
Resolva o sistema 5x − 2y = −2 e 2x − 2y = −3. Calcule x.
5x − 2y = −22x − 2y = −3
x =
7.Equações diferenciaisMédia
Uma xícara de café a 86 °C é deixada em uma sala a 19 °C. Após 5 min sua temperatura é 58 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Encontre a constante k em min⁻¹.
T0 = 86 °CTa = 19 °CT(5) = 58 °C
k = min⁻¹
8.Equações diferenciaisDifícil
Um tanque contém 500 L de água pura. Salmoura com 0,2 kg de sal por litro entra a 5 L/min, e a solução bem misturada sai na mesma vazão. Quanto sal m há no tanque após 75 min?
V = 500 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
3Soluções
1.Métodos numéricos
Resposta: s = 28 m
Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.
Soma ponderada
6 + 2·5 + 2·6 + 2·5 + 2·3 + 2·4 + 4 = 56
Regra do trapézio
s = (1/2)·56 = 28 m
Resposta
s = 28 m
2.Métodos numéricos
Resposta: y1 = 0,1974
Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.
Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.
Teste cada série
A: Σ 3ᵏ/k² → Teste da razão: L = 3 > 1, diverge.
B: Σ 1/√k → Série-p com p = 1/2 ≤ 1: diverge.
C: Σ (5/3)ᵏ → Geométrica com r = 5/3 > 1: os termos crescem, então diverge.
D: Σ (−1)ᵏ/√k → Alternada, com 1/√k decrescendo a 0: converge (condicionalmente).
A resposta
D: Σ (−1)ᵏ/√k
Resposta
D: Σ (−1)ᵏ/√k
4.Sequências e séries
Resposta: P₃(−1.5) = −0,9375
Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.
Polinômio de Maclaurin
P₃(x) = x − 0,1667x³
Substituir
P₃(−1,5) = −1,5 + 0,5625 = −0,9375
Resposta
P₃(−1,5) = −0,9375
O valor exato é f(−1,5) = −0,997495; o erro −0,059995 diminui quando você toma mais termos ou um ponto mais próximo de 0.
5.Matrizes e determinantes
Resposta: c12 = 1
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Linha vezes coluna
c12 = 1·6 + 1·(−5) = 1
Resposta
c12 = 1
6.Matrizes e determinantes
Resposta: x = 0,3333
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Determinante da matriz dos coeficientes
det A = 5·(−2) − (−2)·2 = −6
Substituir a coluna de x
det Aₓ = (−2)·(−2) − (−2)·(−3) = −2
x = −2/(−6) = 0,3333
Resposta
x = 0,3333
y = 1,833
7.Equações diferenciais
Resposta: k = 0,1082 min⁻¹
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Razão das diferenças de temperatura
e−5k = 39/67
Resolver para k
k = ln(67/39)/5 = 0,1082 min⁻¹
Resposta
k = 0,1082 min⁻¹
8.Equações diferenciais
Resposta: m = 52,76 kg
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Montar a equação
dm/dt = 5·0,2 − (5/500)·m = 1 − 0,01·m
Resolva
O fator integrante é ert/V; a solução tende ao equilíbrio c·V.