Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Sequências e séries
Sequência aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência
R = lim |ck/ck+1|
Polinômio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrizes e determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores próprios
det(A − λI) = 0
Regra de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equações diferenciais
Crescimento/decaimento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Meia-vida
k = ln 2 / t½
Lei de resfriamento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fator integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tanque de mistura
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercícios
1.Métodos numéricosMédia
A regra do trapézio é usada para ∫02 sin x dx. O erro é no máximo (b − a)³·M/(12n²) com M = max|f″| em [0, 2]. Encontre o menor número de faixas n que garante um erro abaixo de 0,0005.
f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]ε = 0,0005
n =
2.Métodos numéricosDifícil
Dê um passo do método clássico de Runge–Kutta (RK4) com h = 0,1 para y′ = cos t − y, y(0) = −1. Encontre y₁ ≈ y(0,1).
y′ = cos t − yy(0) = −1h = 0,1
y1 =
3.Sequências e sériesMédia
Encontre o raio de convergência R da série de potências Σk=1∞ xᵏ/(k²·5ᵏ).
Σ xᵏ/(k²·5ᵏ)x₀ = 0
R =
4.Sequências e sériesDifícil
Reconheça a série e encontre a sua soma: S = Σk=0∞ (−1)ᵏ/(2k + 1)!.
ak = (−1)ᵏ/(2k + 1)!
S =
5.Matrizes e determinantesMédia
Seja C = AB para as matrizes apresentadas. Calcule o elemento c21 (linha 2, coluna 1).
A = [0 2; −4 0]B = [−4 4; −2 6]
c21 =
6.Matrizes e determinantesDifícil
Resolva o sistema 2x − 6y = −7 e −6x − 4y = −4. Calcule x.
2x − 6y = −7−6x − 4y = −4
x =
7.Equações diferenciaisMédia
Uma xícara de café a 94 °C é deixada em uma sala a 20 °C. Após 24 min sua temperatura é 42 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Quanto tempo após o início, t, leva para chegar a 27 °C?
T0 = 94 °CTa = 20 °CT(24) = 42 °CT = 27 °C
t = min
8.Equações diferenciaisDifícil
Resolva o problema de valor inicial y′ + 2y/x = x para x > 0, com y(1) = 2. Encontre y(2).
y′ + 2y/x = xy(1) = 2
y(2) =
3Soluções
1.Métodos numéricos
Resposta: n = 37
Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.
Cota da segunda derivada
M = |sin(π/2)| = 1
Resolver em ordem a n
n² > 8·1/(12·0,0005) = 1333
n > 36,51 → n = 37
Resposta
n = 37
2.Métodos numéricos
Resposta: y1 = −0,8098
Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.
Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.
Coeficientes
ck/ck+1 = 5·((k + 1)/k)² → 5
Raio
R = 5
Resposta
R = 5
O teste da razão nada diz nos dois extremos; eles precisam ser verificados separadamente.
4.Sequências e séries
Resposta: S = 0,8415
Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.
Séries padrão
Σ (−1)ᵏx2k+1/(2k + 1)! = sin x
Substituir
x = 1
S = sin 1 = 0,8415
Resposta
S = 0,8415
5.Matrizes e determinantes
Resposta: c21 = 16
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Linha vezes coluna
c21 = (−4)·(−4) + 0·(−2) = 16
Resposta
c21 = 16
6.Matrizes e determinantes
Resposta: x = −0,09091
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Determinante da matriz dos coeficientes
det A = 2·(−4) − (−6)·(−6) = −44
Substituir a coluna de x
det Aₓ = (−7)·(−4) − (−6)·(−4) = 4
x = 4/(−44) = −0,09091
Resposta
x = −0,09091
y = 1,136
7.Equações diferenciais
Resposta: t = 46,66 min
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Constante de resfriamento
k = ln(74/22)/24 = 0,05054 min⁻¹
Tempo até atingir o valor desejado
t = ln(74/7)/0,05054 = 46,66 min
Resposta
t = 46,66 min
8.Equações diferenciais
Resposta: y(2) = 1,438
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.