Para uma raiz: verifique a mudança de sinal na bissecção, ou calcule f e f′ em Newton, e mantenha seis ou mais algarismos numa tabela de iterados.
Para um valor de tabela: interpole linearmente entre os dois pontos vizinhos.
Para uma integral: encontre h = (b − a)/n, liste f em cada nó, aplique os pesos (1, 2, …, 2, 1 para o trapézio; 1, 4, 2, …, 4, 1 para Simpson com n par) e multiplique por h/2 ou h/3.
Para uma EDO: avance a partir de t₀ com yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) ou com a inclinação média (Heun), uma linha por passo, até chegar ao t pedido.
Sequências e séries
Sequência aritmética
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Sequência geométrica
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Série geométrica infinita
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Série-p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Teste da razão
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Raio de convergência
R = lim |ck/ck+1|
Polinômio de Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Série de Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Cota de erro de Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
Método
Identifique o tipo: aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante), uma série padrão, uma série de potências ou um polinômio de Taylor.
Para somas use Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), ou S = a₁/(1 − r) quando |r| < 1, com a₁ o primeiro termo da soma.
Para a convergência: primeiro o teste do n-ésimo termo, depois compare com Σ1/kᵖ ou com uma série geométrica, e use o teste da razão ou da raiz para fatoriais e potências k-ésimas.
Para polinômios de Taylor liste f(a), f′(a), f″(a), …, divida a k-ésima derivada por k! e limite o erro com M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Matrizes e determinantes
determinante 2×2
det = ad − bc
Inversa 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
Produto
(AB)ij = Σk AikBkj
Valores próprios
det(A − λI) = 0
Regra de Cramer
xi = det(Ai)/det(A)
Equações diferenciais
Crescimento/decaimento exponencial
dy/dt = ky → y = y0ekt
Meia-vida
k = ln 2 / t½
Lei de resfriamento de Newton
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
Fator integrante
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
Tanque de mistura
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2Exercícios
1.Métodos numéricosMédia
A regra do trapézio é usada para ∫02 eˣ dx. O erro é no máximo (b − a)³·M/(12n²) com M = max|f″| em [0, 2]. Encontre o menor número de faixas n que garante um erro abaixo de 1 × 10⁻⁵.
f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]ε = 1 × 10⁻⁵
n =
2.Métodos numéricosDifícil
Use o método de Euler com h = 0,1 para y′ = t² + y², y(0) = 0,5 para estimar y4 ≈ y(0,4).
y′ = t² + y²y(0) = 0,5h = 0,1
y4 =
3.Sequências e sériesMédia
A série de potências Σk=1∞ (2k)!·(x + 2)ᵏ/(k!)² converge num intervalo em torno de x₀ = −2. Encontre a extremidade esquerda x desse intervalo.
Σ (2k)!·(x + 2)ᵏ/(k!)²x₀ = −2
x =
4.Sequências e sériesDifícil
Encontre o coeficiente c₂ de (x − 1)² na série de Taylor de f(x) = eˣ em torno de a = 1.
f(x) = eˣa = 1k = 2
c₂ =
5.Matrizes e determinantesMédia
Calcule o determinante det A da matriz 3×3 A apresentada.
A = [3 −3 −1; −2 −5 −3; −2 −2 −4]
det A =
6.Matrizes e determinantesDifícil
Resolva o sistema −3x − 4y = 5 e 5x − 4y = 9. Calcule x.
−3x − 4y = 55x − 4y = 9
x =
7.Equações diferenciaisMédia
Uma xícara de café a 93 °C é deixada em uma sala a 21 °C. Após 15 min sua temperatura é 43 °C. Ela segue a lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ). Encontre a constante k em min⁻¹.
T0 = 93 °CTa = 21 °CT(15) = 43 °C
k = min⁻¹
8.Equações diferenciaisDifícil
Resolva y′ + y = 4e−2t com y(0) = 3. Encontre y(2).
y′ + y = 4e−2ty(0) = 3
y(2) =
3Soluções
1.Métodos numéricos
Resposta: n = 702
Integração numérica: divida [a, b] em n faixas de largura h = (b − a)/n com nós x₀ … xₙ. Regra do trapézio: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Regra de Simpson (n par): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. O erro do trapézio diminui como h² (cota (b − a)h²·M/12 com M = max|f″|), o de Simpson como h⁴, de modo que Simpson costuma ser muito mais preciso com os mesmos nós.
Cota da segunda derivada
M = e2 = 7,389
Resolver em ordem a n
n² > 8·7,389/(12·1 × 10⁻⁵) = 492604
n > 701,9 → n = 702
Resposta
n = 702
2.Métodos numéricos
Resposta: y4 = 0,6318
Solução numérica de y′ = f(t, y): o método de Euler avança ao longo da inclinação no início de cada passo: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). O método de Heun (Euler melhorado) faz a média da inclinação no início e numa previsão de Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). O método clássico de Runge–Kutta (RK4) combina quatro inclinações: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). O erro global de Euler é proporcional a h, o de Heun a h², o de RK4 a h⁴.
Passos de Euler
y₁ = 0,5 + 0,1·(0,25) = 0,525
y₂ = 0,525 + 0,1·(0,285625) = 0,553563
y₃ = 0,553563 + 0,1·(0,346431) = 0,588206
y₄ = 0,588206 + 0,1·(0,435986) = 0,631804
Gráfico
y4 = 0,6318
Resposta
y4 = 0,6318
3.Sequências e séries
Resposta: x = −2,25
Convergência: se os termos não tendem a 0, a série diverge (teste do n-ésimo termo). Σ1/kᵖ converge somente para p > 1, e Σrᵏ somente para |r| < 1. Compare uma série com uma dessas quando seus termos se comportam como elas para k grande. Teste da razão: L = lim |ak+1/ak|; teste da raiz: L = lim |ak|1/k. L < 1 converge, L > 1 diverge, L = 1 não decide nada. Uma série de potências Σck(x − x₀)ᵏ converge para |x − x₀| < R com R = lim |ck/ck+1|; uma série alternada com termos decrescentes a 0 converge.
O teste da razão nada diz nos dois extremos; eles precisam ser verificados separadamente.
4.Sequências e séries
Resposta: c₂ = 1,359
Polinômios de Taylor: perto de x = a, uma função suave é aproximada por Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; para a = 0 este é o polinômio de Maclaurin. Séries padrão: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Cota de erro de Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, em que M é o maior valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a e x.
Derivada f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = eˣ
Coeficiente
c₂ = e1/2! = 1,359
c₂ = 1,359
Resposta
c₂ = 1,359
5.Matrizes e determinantes
Resposta: det A = 54
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Menores 2×2 da primeira linha
M₁₁ = 14, M₁₂ = 2, M₁₃ = −6
Desenvolvimento por cofatores
det A = 3·14 − (−3)·2 + (−1)·(−6) = 54
Resposta
det A = 54
6.Matrizes e determinantes
Resposta: x = 0,5
Matrizes: o determinante de uma matriz 2×2 é ad − bc. Numa 3×3, desenvolva por uma linha: cada elemento vezes o determinante da 2×2 que resta ao tirar a sua linha e coluna, com sinais alternados + − +. Os valores próprios λ resolvem det(A − λI) = 0; numa 2×2 é λ² − (traço)·λ + det = 0.
Determinante da matriz dos coeficientes
det A = (−3)·(−4) − (−4)·5 = 32
Substituir a coluna de x
det Aₓ = 5·(−4) − (−4)·9 = 16
x = 16/32 = 0,5
Resposta
x = 0,5
y = −1,625
7.Equações diferenciais
Resposta: k = 0,07904 min⁻¹
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.
Razão das diferenças de temperatura
e−15k = 22/72
Resolver para k
k = ln(72/22)/15 = 0,07904 min⁻¹
Resposta
k = 0,07904 min⁻¹
8.Equações diferenciais
Resposta: y(2) = 0,8741
Equações diferenciais de primeira ordem: dy/dt = k·y tem a solução y = y₀·ekt (crescimento para k > 0, decaimento para k < 0); uma meia-vida T dá k = ln 2/T. A lei de resfriamento de Newton, dT/dt = −k·(T − Tₐ), dá T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. Uma equação linear y′ + p(x)·y = q(x) é resolvida com o fator integrante μ = e∫p dx: (μy)′ = μq, então μy = ∫μq dx + C.