Física 1: Mecânica: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 16 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Cinemática

Velocidade: v = v₀ + a·t
Deslocamento: s = v₀·t + ½·a·t²
Sem o tempo: v² = v₀² + 2·a·s
Unidades: 1 m/s = 3,6 km/h

Método

Liste o que você sabe: v₀, v, a, t e s, com unidades.
Escolha a equação que contém suas três grandezas conhecidas e a incógnita.
Escolha um sentido positivo e dê sinal negativo às grandezas no sentido oposto.
Resolva e verifique se a resposta faz sentido físico.

Leis de Newton

Segunda lei: ΣF = m·a
Peso: W = m·g
Atrito cinético: F_f = μ·N
Em um plano inclinado: ao longo: m·g·sin θ, normal: m·g·cos θ

Método

Desenhe um diagrama de corpo livre com todas as forças sobre o corpo.
Escolha um sentido positivo ao longo do movimento.
Decomponha as forças em componentes ao longo do movimento e perpendiculares a ele (em um plano inclinado: m·g·sin θ ao longo, m·g·cos θ contra o plano).
Aplique ΣF = m·a ao longo do movimento; o atrito é μ·N contra o movimento.

Movimento de projéteis

Componentes: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
Posição: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
Altura máxima: H = h + v_y²/(2g)
Alcance (solo plano): R = v₀²·sin 2θ/g

Método

Decomponha a velocidade de lançamento em componentes: v_x = v₀·cos θ e v_y = v₀·sin θ.
O movimento horizontal tem velocidade constante; o movimento vertical tem aceleração −g.
Encontre o tempo de voo a partir do movimento vertical.
Use esse tempo no movimento horizontal para encontrar o alcance.

Movimento circular

Aceleração centrípeta: a = v²/r = ω²·r
Força centrípeta: F = m·v²/r
Velocidade angular: ω = v/r = 2π/T
Curva plana, atrito: v_max = √(μ·g·r)

Trabalho e energia

Energia cinética: E_k = ½mv²
Energia potencial: E_p = mgh
Balanço de energia: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
Trabalho do atrito: W = μ·N·d
Potência: P = W/t

Quantidade de movimento e colisões

Quantidade de movimento: p = m·v
Conservação: Σm·v (before) = Σm·v (after)
Perfeitamente inelástica: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
Impulso: J = F·Δt = m·Δv

Método

Escolha um sentido positivo e dê a cada velocidade o seu sinal.
Escreva a quantidade de movimento total antes: Σm·v.
Em uma colisão perfeitamente inelástica os corpos se movem juntos depois; em uma colisão elástica a energia cinética também se conserva.
Iguale a quantidade de movimento antes à quantidade de movimento depois e resolva.

Molas e pêndulos

Massa em uma mola: T = 2π·√(m/k)
Pêndulo: T = 2π·√(L/g)
Frequência angular: ω = √(k/m) = 2π/T
Velocidade e aceleração máximas: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
Energia: E = ½·k·A²

Ondas, som e óptica

Velocidade da onda: v = fλ, T = 1/f
Corda: v = √(T/μ), μ = m/L
Nível sonoro: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
Fonte puntiforme: I = P/(4πr²)
Ondas estacionárias: corda ou tubo aberto f_n = n·v/(2L); tubo fechado f_n = n·v/(4L), n ímpar
Efeito Doppler: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
Índice de refração: n = c/v, λ = λ₀/n
Lei de Snell: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
Ângulo crítico: sin θ_c = n₂/n₁
Fibra óptica: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
Lentes e espelhos: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
Fenda dupla: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
Rede de difração: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
Fenda simples: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Método

Identifique o tipo de problema: velocidade da onda, nível sonoro, onda estacionária, Doppler, refração, lente ou espelho, ou interferência.
Escreva primeiro a relação: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) ou n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
Converta as unidades: nm, mm e cm para m, e verifique se os ângulos são medidos a partir da normal.
Verifique os sinais e a plausibilidade: uma imagem virtual tem dᵢ < 0, uma fonte que se aproxima soa mais aguda, um tubo fechado só tem harmônicos ímpares.

2Exercícios

1.CinemáticaMédia

Um avião parte do repouso e acelera uniformemente a 3,25 m/s² ao longo de uma pista. Encontre sua velocidade v após 600 m.

v₀ = 0a = 3,25 m/s²s = 600 m

v = m/s

2.CinemáticaDifícil

Um foguete-modelo é lançado verticalmente para cima a partir do repouso. Seu motor lhe dá uma aceleração constante para cima de 40 m/s² durante 1 s, depois disso o motor desliga e o foguete se move livremente. Despreze a resistência do ar e use g = 9,81 m/s². Encontre a altura máxima h_max que o foguete atinge.

a = 40 m/s²t₁ = 1 sg = 9,81 m/s²

h_max = m

3.Leis de NewtonMédia

Uma caixa desliza sobre um piso horizontal com velocidade inicial de 4 m/s e para após 16 m. Use g = 9,81 m/s². Encontre o coeficiente de atrito cinético μ.

v₀ = 4 m/sd = 16 mg = 9,81 m/s²

μ =

4.Leis de NewtonDifícil

Dois blocos sobre um piso horizontal estão ligados por um fio horizontal leve. Uma força horizontal de 125 N puxa o bloco da frente, de 9 kg; o bloco de 7 kg é rebocado atrás. O coeficiente de atrito cinético é 0,2 para os dois blocos. Use g = 9,81 m/s². Encontre a aceleração a dos blocos.

m₁ = 7 kgm₂ = 9 kgF = 125 Nμ = 0,2g = 9,81 m/s²

a = m/s²

5.Movimento de projéteisMédia

Uma bola é lançada a 30° acima da horizontal do chão plano. Despreze a resistência do ar. Encontre a distância horizontal x percorrida antes de a bola atingir o chão.

v₀ = 12 m/sθ = 30°g = 9,81 m/s²

x = m

6.Movimento de projéteisDifícil

Uma bola é lançada a 50° acima da horizontal do topo de um penhasco de 45 m. Despreze a resistência do ar. Encontre o tempo de voo t até a bola atingir o chão.

v₀ = 12 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9,81 m/s²

t = s

7.Movimento circularMédia

Uma pequena bola presa a um fio de comprimento 1 m se move em um círculo horizontal de modo que o fio forma um ângulo constante de 30° com a vertical (um pêndulo cônico). Use g = 9,81 m/s². Encontre o tempo T de uma volta.

L = 1 mθ = 30°g = 9,81 m/s²

T = s

8.Movimento circularDifícil

Uma bola de 0,6 kg presa a um fio de 1,5 m de comprimento gira em um círculo vertical. No ponto mais baixo, ela se move a 8,5 m/s. Use g = 9,81 m/s². Calcule a tração T no fio no ponto mais baixo.

m = 0,6 kgr = 1,5 mv = 8,5 m/sg = 9,81 m/s²

T = N

9.Trabalho e energiaMédia

Um bloco de 1 kg desliza 6 m por uma rampa a 25° da horizontal, com coeficiente de atrito cinético de 0,1. Encontre o trabalho W_f realizado contra o atrito.

m = 1 kgθ = 25°μ = 0,1d = 6 mg = 9,81 m/s²

W_f = J

10.Trabalho e energiaDifícil

Um bloco de 5 kg parte do repouso na base de uma rampa de 15° e é puxado rampa acima por uma força constante de 35 N paralela à rampa. O coeficiente de atrito cinético é 0,3. Encontre a velocidade v do bloco depois de ele subir 4 m pela rampa.

m = 5 kgF = 35 Nθ = 15°μ = 0,3d = 4 mg = 9,81 m/s²

v = m/s

11.Quantidade de movimento e colisõesMédia

Um projétil de 20 g é disparado horizontalmente contra um bloco de madeira de 5 kg pendurado por fios leves e fica alojado nele. O bloco oscila para cima até ficar 17 cm mais alto que no início. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v do projétil antes do impacto.

m = 20 gM = 5 kgh = 17 cmg = 9,81 m/s²

v = m/s

12.Quantidade de movimento e colisõesDifícil

Um carro de 1500 kg colide com um carro estacionado de 1200 kg. Os destroços ficam presos um ao outro e derrapam 11,5 m antes de parar. O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a estrada é 0,5. Use g = 9,81 m/s². Encontre a velocidade v₁ do primeiro carro logo antes da colisão.

m₁ = 1500 kgm₂ = 1200 kgd = 11,5 mμ = 0,5g = 9,81 m/s²

v₁ = m/s

13.Molas e pêndulosMédia

Uma massa de 0,2 kg presa a uma mola com k = 480 N/m oscila sobre uma superfície sem atrito com amplitude de 16 cm. Encontre sua velocidade v quando ela está a 4 cm do equilíbrio.

m = 0,2 kgk = 480 N/mA = 16 cmx = 4 cm

v = m/s

14.Molas e pêndulosDifícil

Uma massa de 0,1 kg é presa à extremidade inferior de uma mola vertical não deformada com k = 90 N/m e solta do repouso. Use g = 9,81 m/s². Encontre a maior velocidade v_max da massa.

m = 0,1 kgk = 90 N/mg = 9,81 m/s²

v_max = m/s

15.Ondas, som e ópticaMédia

Uma fonte de 400 Hz move-se a 20 m/s em direção a um observador em repouso. A velocidade do som é 343 m/s. Encontre a frequência f′ que o observador ouve.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/s

f′ = Hz

16.Ondas, som e ópticaDifícil

Luz de comprimento de onda 486 nm incide em ângulo reto sobre uma rede com 200 linhas por milímetro. Encontre o ângulo θ₁ do máximo de ordem 1.

N = 200 mm⁻¹λ = 486 nmm = 1

θ₁ = °

3Soluções

1.Cinemática

Resposta: v = 62,45 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

Velocidade após a distância

v = √(2·a·s) = √(2·3,25·600) = 62,45 m/s

Resposta

v = 62,45 m/s

(224,8 km/h)

2.Cinemática

Resposta: h_max = 101,5 m

Fase propulsada

v₁ = 40·1 = 40 m/s

h₁ = ½·40·1² = 20 m

Voo livre subindo

No topo a velocidade é zero.

Δh = v₁²/(2g) = 40²/(2·9,81) = 81,55 m

h_max = 20 + 81,55 = 101,5 m

Resposta

h_max = 101,5 m

3.Leis de Newton

Resposta: μ = 0,05097

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

Desaceleração

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·16) = 0,5 m/s²

Coeficiente de atrito

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0,5/9,81 = 0,05097

Resposta

μ = 0,05097

4.Leis de Newton

Resposta: a = 5,851 m/s²

Sistema inteiro

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (125 − 31,39)/16 = 5,851 m/s²

Resposta

a = 5,851 m/s²

5.Movimento de projéteis

Resposta: x = 12,71 m

Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = v_xt e y = h + v_yt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.

Decomponha a velocidade de lançamento

A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 30° = 10,39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 30° = 6 m/s

Tempo no ar

Partindo e chegando na mesma altura: t = 2v_y/g.

t = 2·6/9,81 = 1,223 s

Distância horizontal

x = v_x·t = 10,39·1,223 = 12,71 m

Resposta

x = 12,71 m

6.Movimento de projéteis

Resposta: t = 4,108 s

Movimento de projéteis: sem resistência do ar, x = v_xt e y = h + v_yt − ½gt². As duas direções são independentes, exceto por compartilharem o mesmo tempo.

Decomponha a velocidade de lançamento

A velocidade horizontal é constante; o movimento vertical tem aceleração constante g = 9,81 m/s² para baixo.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 50° = 7,713 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 50° = 9,193 m/s

Tempo no ar

Resolva y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 para a raiz positiva.

0 = 45 + 9,193·t − 4,905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9,193 + √(84,5 + 882,9))/9,81 = 4,108 s

Resposta

t = 4,108 s

7.Movimento circular

Resposta: T = 1,867 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

Raio do círculo

r = L·sin θ = 1·sin 30° = 0,5 m

Velocidade

Tração e gravidade juntas dão a força para dentro: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0,5·9,81·tan 30°) = 1,683 m/s

Período

T = 2π·r/v = 2π·0,5/1,683 = 1,867 s

Resposta

T = 1,867 s

8.Movimento circular

Resposta: T = 34,79 N

Movimento circular uniforme: um objeto que se move com velocidade v em um círculo de raio r acelera em direção ao centro com a = v²/r, então precisa de uma força resultante para dentro F = m·v²/r. Essa força é fornecida por algo real: atrito, tração, gravidade ou uma força normal.

Forças no ponto mais baixo

Em direção ao centro (para cima) é positivo.

T − m·g = m·v²/r

T = 0,6·9,81 + 0,6·8,5²/1,5 = 5,886 + 28,9 = 34,79 N

Resposta

T = 34,79 N

9.Trabalho e energia

Resposta: W_f = 5,335 J

Princípio trabalho–energia: a variação da energia cinética é igual ao trabalho de todas as forças. Escrever gravidade e molas como energia potencial (mgh e ½kx²) transforma isso em um balanço: energia inicial = energia final + energia perdida por atrito (μN·d).

Força de atrito

N = mg·cos θ = 9,81·0,9063 = 8,891 N

F = μN = 0,1·8,891 = 0,8891 N

Trabalho contra o atrito

W_f = F·d = 0,8891·6 = 5,335 J

Resposta

W_f = 5,335 J

10.Trabalho e energia

Resposta: v = 3,598 m/s

Forças ao longo do plano

m·g = 5·9,81 = 49,05 N

mg·sin θ = 12,7 N

μ·mg·cos θ = 14,21 N

Trabalho–energia

½mv² = (35 − 26,91)·4 = 32,37 J

v = √(2·32,37/5) = 3,598 m/s

Resposta

v = 3,598 m/s

11.Quantidade de movimento e colisões

Resposta: v = 458,4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

Oscilação após o impacto

V = √(2·g·h) = √(2·9,81·0,17) = 1,826 m/s

Colisão

m·v = (m + M)·V → v = (0,02 + 5)·1,826/0,02 = 458,4 m/s

Resposta

v = 458,4 m/s

12.Quantidade de movimento e colisões

Resposta: v₁ = 19,12 m/s

Velocidade após a colisão

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0,5·9,81·11,5) = 10,62 m/s

Quantidade de movimento na colisão

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2700·10,62/1500 = 19,12 m/s

Resposta

v₁ = 19,12 m/s

(68,83 km/h)

13.Molas e pêndulos

Resposta: v = 7,589 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Frequência angular

ω = √(480/0,2) = 48,99 rad/s

Velocidade em x

v = ω·√(A² − x²) = 48,99·√(0,16² − 0,04²) = 7,589 m/s

Resposta

v = 7,589 m/s

14.Molas e pêndulos

Resposta: v_max = 0,327 m/s

Equilíbrio e amplitude

x₀ = m·g/k = 0,1·9,81/90 = 0,0109 m = A

Maior velocidade

A velocidade é máxima no equilíbrio.

ω = √(90/0,1) = 30 rad/s

v_max = A·ω = 0,0109·30 = 0,327 m/s

Resposta

v_max = 0,327 m/s

15.Ondas, som e óptica

Resposta: f′ = 424,8 Hz

Ondas estacionárias e efeito Doppler: uma corda fixa nas duas extremidades, ou um tubo aberto nas duas extremidades, comporta meios comprimentos de onda inteiros: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Um tubo fechado em uma extremidade tem um nó na extremidade fechada e um ventre na aberta: L = nλ/4 apenas com n ímpar, f_n = n·v/(4L). Quando a fonte ou o observador se movem ao longo da linha que os une, f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s): use os sinais superiores para movimento de aproximação. Duas ondas de frequências quase iguais produzem batimentos com frequência |f₁ − f₂|.

Fórmula do efeito Doppler

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 400·(343 + 0)/(343 − 20)

f′ = 424,8 Hz

Resposta

f′ = 424,8 Hz

16.Ondas, som e óptica

Resposta: θ₁ = 5,578 °

Interferência e difração: a luz de duas fendas separadas por uma distância d chega a um ponto do anteparo com uma diferença de percurso d·sin θ. Franjas claras aparecem onde d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Para um anteparo a uma distância L ≫ d, a m-ésima franja clara está em y = mλL/d e o espaçamento entre franjas é Δy = λL/d. Uma rede de difração com N linhas por milímetro tem d = 1/N e máximos nítidos em d·sin θ = mλ; como sin θ ≤ 1, a ordem mais alta é o maior inteiro m ≤ d/λ. Uma fenda simples de largura a tem franjas escuras em a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Espaçamento das linhas

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

Equação da rede

sin θ = mλ/d = 1·486 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0,0972

θ = 5,578°

Resposta

θ₁ = 5,578°

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