Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +2 µC e +3 µC estão a 80 cm uma da outra. A que distância x da carga de +2 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +2 µCq₂ = +3 µCd = 80 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 5 × 10⁷ m/s. As placas têm 10 cm de comprimento e o campo entre elas é 3800 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 3800 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 5 ms.

V_s = 10 VR = 10 ΩL = 150 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 20 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 8 V? Encontre t.

V_s = 5 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa movendo-se a 8 × 10⁵ m/s entra em um campo magnético uniforme em ângulo reto e descreve um círculo de raio 1,106 cm. Encontre a densidade de fluxo magnético B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁵ m/sr = 1,106 cm

B = T

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 250 espiras, 20 cm × 20 cm, gira a 1800 rpm num campo uniforme de 0,25 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E₀.

N = 250A = 20 cm × 20 cmB = 0,25 Tn = 1800 rpm

E₀ = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 1000 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 200 mHC = 1 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 50 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 50 V (rms)f = 500 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 80 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 35,96 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

2/x² = 3/(80 − x)²

(80 − x)/x = √(3/2) = 1,225

Posição

x = 80/(1 + 1,225) = 35,96 cm

Resposta

x = 35,96 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 1,337 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,1/5 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3800/9,109 × 10⁻³¹ = 6,683 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·6,683 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,001337 m = 1,337 mm

Resposta

y = 1,337 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,164 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 20 = 23 Ω

R₂ ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7,886 Ω

R_eq = R₁ + 7,886 = 5 + 7,886 = 12,89 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,89 = 1,164 A

Resposta

I_R1 = 1,164 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,4784 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 20 + 3 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 1,84 Ω

R₃ + 1,84 = 3,84 Ω

R₂ ∥ 3,84 = 2,172 Ω

R_eq = R₁ + 2,172 = 6 + 2,172 = 8,172 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/8,172 = 1,101 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 1,101·6 = 2,392 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,392/5 = 0,4784 A

Resposta

I_R2 = 0,4784 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 7,165 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 10 Ω = 15 ms

i(∞) = V_s/R = 10/10 = 1 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 10·e^−5/15 = 7,165 V

Resposta

v_L = 7,165 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 166,4 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 5 + (20 − 5)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

8 = 5 + (15)·e^−t/τ → e^−t/τ = (8 − 5)/(20 − 5) = 0,2

t = τ·ln((20 − 5)/(8 − 5)) = 103,4·ln(5) = 166,4 ms

Resposta

t = 166,4 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 1,5 T

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo a partir do raio

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁵/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,01106) = 1,5 T

Resposta

B = 1,5 T

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E₀ = 471,2 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

A = 0,04 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 250·0,25·0,04·188,5 = 471,2 V

Resposta

E₀ = 471,2 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,02184 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,2 = 1257 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (1097)²) = 1099 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 24/1099 = 0,02184 A

Resposta

I = 0,02184 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 41,38 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·500·10·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 10,93 − j27,48 Ω

Impedância total

Z = 20 + 10,93 − j27,48 = 30,93 − j27,48 Ω

|Z| = √(30,93² + 27,48²) = 41,38 Ω

Resposta

|Z| = 41,38 Ω

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