Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +5 µC e uma carga de −6 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 24 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +5 µCq₂ = −6 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 8 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 6 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 5 µC está a 6 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 6 µCq₂ = 5 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 6 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 3 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 75% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 10 VR = 20 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 5 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 6,5 V? Encontre t.

V_s = 10 VR = 6,8 kΩC = 220 µFv_C(0) = 5 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. A intensidade do campo está diminuindo. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: saindo da páginadB/dt < 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um dêuteron parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 2500 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,1 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 3,344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0,1 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 120 V (eficaz), 60 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 100 mH

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 120 V (eficaz), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 150 ΩC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,197 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,24² = 780382 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,36² = 416204 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |780382 + 416204| = 1,197 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,197 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 120,5 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,08² = 67,42 N

F₂ = k·5·8 × 10⁻¹²/0,06² = 99,89 N

Soma vetorial

F = √(67,42² + 99,89²) = 120,5 N

Resposta

F = 120,5 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,7099 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7,241 Ω

R_eq = R₁ + 7,241 = 5 + 7,241 = 12,24 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/12,24 = 1,47 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,47·5 = 10,65 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,65/15 = 0,7099 A

Resposta

I_R2 = 0,7099 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 9,567 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 4 + 3 = 7 Ω

R₄ ∥ 7 = 2,917 Ω

R₃ + 2,917 = 32,92 Ω

R₂ ∥ 32,92 = 3,567 Ω

R_eq = R₁ + 3,567 = 6 + 3,567 = 9,567 Ω

Resposta

R_eq = 9,567 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,258 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

i(∞) = V_s/R = 10/20 = 0,5 A

Resolva para o tempo

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −2,35·ln(0,25) = 3,258 ms

Resposta

t = 3,258 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 533,6 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 5 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 6,8 kΩ · 220 µF = 1496 ms

v_C(t) = 10 + (5 − 10)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

6,5 = 10 + (−5)·e^−t/τ → e^−t/τ = (6,5 − 10)/(5 − 10) = 0,7

t = τ·ln((5 − 10)/(6,5 − 10)) = 1496·ln(1,429) = 533,6 ms

Resposta

t = 533,6 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: anti-horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo entrando na página aumenta, ou o fluxo saindo da página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: saindo da página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

anti-horário

Resposta

anti-horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 10,22 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·2500/(3,344 × 10⁻²⁷)) = 489422 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,1022 m = 10,22 cm

Resposta

r = 10,22 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 17,67 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·60·0,1 = 37,7 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 120/20 = 6 A

I_X = V/X_L = 120/37,7 = 3,183 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(6² + 3,183²) = 6,792 A

Impedância

|Z| = V/I = 120/6,792 = 17,67 Ω

Resposta

|Z| = 17,67 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,276 A

Reatância

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 25,4 − j56,26 Ω

Impedância total

Z = 50 + 25,4 − j56,26 = 75,4 − j56,26 Ω

|Z| = √(75,4² + 56,26²) = 94,07 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 120/94,07 = 1,276 A

Resposta

I = 1,276 A

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