Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de −10 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 24 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = −10 µCr₁ = 24 cmr₂ = 36 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 5 × 10⁷ m/s. As placas têm 6 cm de comprimento e o campo entre elas é 3900 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 3900 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 8 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 6 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 6 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 4 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 3 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Quanto tempo leva para a corrente cair até 0,6 A? Encontre t.

i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 3 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 9,3 V? Encontre t.

V_s = 12 VR = 2,2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 3 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um fio conduz uma corrente para baixo na página num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da força magnética sobre o fio.

I: para baixo na páginaB: saindo da página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 100 espiras, 5 cm × 25 cm, gira a 3600 rpm num campo uniforme de 0,4 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz E_rms da fem.

N = 100A = 5 cm × 25 cmB = 0,4 Tn = 3600 rpm

E_rms = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 1000 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 849749 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,24² = 156076 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,36² = 693673 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |156076 + 693673| = 849749 N/C

Resposta

E = 849749 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,4938 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,06/5 × 10⁷ = 1,2 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3900/9,109 × 10⁻³¹ = 6,859 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·6,859 × 10¹⁴·(1,2 × 10⁻⁹)² = 0,0004938 m = 0,4938 mm

Resposta

y = 0,4938 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,235 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 15 + 6 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 3·21/(3+21) = 2,625 Ω

R_eq = R₁ + 2,625 = 8 + 2,625 = 10,63 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/10,63 = 1,412 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,412·8 = 3,706 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,706/3 = 1,235 A

Resposta

I_R2 = 1,235 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,5604 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 20 + 4 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 1,846 Ω

R₃ + 1,846 = 21,85 Ω

R₂ ∥ 21,85 = 4,707 Ω

R_eq = R₁ + 4,707 = 6 + 4,707 = 10,71 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/10,71 = 0,5604 A

Resposta

I_R1 = 0,5604 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 0,5311 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 33 mH / 100 Ω = 0,33 ms

Resolva para o tempo

0,6 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/0,6)

t = 0,33·ln(5) = 0,5311 ms

Resposta

t = 0,5311 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 582,7 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 3 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 12 + (3 − 12)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

9,3 = 12 + (−9)·e^−t/τ → e^−t/τ = (9,3 − 12)/(3 − 12) = 0,3

t = τ·ln((3 − 12)/(9,3 − 12)) = 484·ln(3,333) = 582,7 ms

Resposta

t = 582,7 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para a esquerda

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

I: para baixo na página, B: saindo da página

Sentido da força

para a esquerda

Resposta

F: para a esquerda

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E_rms = 133,3 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,0125 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 100·0,4·0,0125·377 = 188,5 V

Valor eficaz

E_rms = 188,5/√2 = 133,3 V

Resposta

E_rms = 133,3 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,8011 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·47·10⁻⁶) = 33,86 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (123,2)²) = 124,8 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/124,8 = 0,8011 A

Resposta

I = 0,8011 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 2,673 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s

X_L = ωL = 6283·0,1 = 628,3 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7,234 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (621,1)²) = 622,4 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 230/622,4 = 0,3696 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 0,3696·7,234 = 2,673 V

Resposta

V_C = 2,673 V

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