Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +2 µC e uma carga de −4 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +2 µCq₂ = −4 µCr₁ = 5 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 3 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 1 µC está a 3 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 1 µC está a 5 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 1 µCq₃ = 3 µCr₁₃ = 3 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 4 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 5 ms.

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 100 mHt = 5 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 18 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 300 ms.

V_s = 20 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 Vt = 300 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 50 espiras tem uma área de 25 cm². A bobina está num campo uniforme de 0,1 T perpendicular ao seu plano, e o campo é desligado em 20 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 50A = 25 cm²B = 0,1 TΔt = 20 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 100 espiras, 15 cm × 10 cm, gira num campo uniforme de 0,2 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 26,66 V?

N = 100A = 15 cm × 10 cmB = 0,2 TE_rms = 26,66 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 50 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 10 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 10 Ω, L = 50 mH e C = 2,2 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.

R = 10 ΩL = 50 mHC = 2,2 µF

Q =

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,158 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·2 × 10⁻⁶/0,05² = 7,192 × 10⁶ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,05² = 1,438 × 10⁷ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |7,192 × 10⁶ + 1,438 × 10⁷| = 2,158 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 2,158 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 31,85 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·1·3 × 10⁻¹²/0,03² = 29,97 N

F₂ = k·1·3 × 10⁻¹²/0,05² = 10,79 N

Soma vetorial

F = √(29,97² + 10,79²) = 31,85 N

Resposta

F = 31,85 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,319 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 2 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 20·14/(20+14) = 8,235 Ω

R_eq = R₁ + 8,235 = 15 + 8,235 = 23,24 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/23,24 = 0,7747 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 0,7747·15 = 6,38 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,38/20 = 0,319 A

Resposta

I_R2 = 0,319 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,9996 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 4 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 8,974 Ω

R₃ + 8,974 = 11,97 Ω

R₂ ∥ 11,97 = 5,994 Ω

R_eq = R₁ + 5,994 = 3 + 5,994 = 8,994 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/8,994 = 2,001 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 2,001·3 = 12 V

I_R2 = V_A/R₂ = 12/12 = 0,9996 A

Resposta

I_R2 = 0,9996 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 2,881 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 100 mH / 33 Ω = 3,03 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0,4545 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 15·e^−5/3,03 = 2,881 V

Resposta

v_L = 2,881 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 19,71 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 20 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 20 + (18 − 20)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(300) = 20 + (−2)·e^−300/155,1 = 19,71 V

Resposta

v_C = 19,71 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 625 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 0,1·0,0025 = 0,00025 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 50·0,00025/0,02 = 0,625 V

Resposta

ε = 625 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 1200 rpm

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 37,7 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 37,7/(100·0,2·0,015) = 125,7 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·125,7/(2π) = 1200 rpm

Resposta

n = 1200 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = −81,1 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−255,5)²) = 258,6 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−255,5/40) = −81,1°

Resposta

φ = −81,1°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: Q = 15,08

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,05·2,2·10⁻⁶)) = 479,9 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0,05/(2,2·10⁻⁶)) = 15,08

Resposta

Q = 15,08

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