Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +6 µC e −5 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 25 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −5 µCr = 25 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 5 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 4 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 4 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 10 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 2 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a corrente i em t = 5 ms.

i(0) = 2 AR = 50 ΩL = 220 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 24 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 150 ms.

V_s = 9 VR = 4,7 kΩC = 100 µFv_C(0) = 24 Vt = 150 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton move-se para a esquerda num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. Clique no sentido da força magnética sobre ele.

v: para a esquerdaB: entrando na página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina curta de 100 espiras está enrolada firmemente em torno do meio de um solenoide longo de 500 espiras, comprimento de 50 cm e diâmetro de 2 cm. A corrente no solenoide varia a 1000 A/s. Encontre a fem ε induzida na bobina curta.

N₁ = 500N₂ = 100l = 50 cm⌀ = 2 cmdi/dt = 1000 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = mV

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 230 V (eficaz), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩC = 47 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 2 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 2 V (rms)R = 50 ΩL = 20 mHC = 0,1 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,03596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (6 + −5)/2 = 0,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,25² = 0,03596 N

Resposta

F = 0,03596 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 68,46 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·5·5 × 10⁻¹²/0,06² = 62,43 N

F₂ = k·4·5 × 10⁻¹²/0,08² = 28,09 N

Soma vetorial

F = √(62,43² + 28,09²) = 68,46 N

Resposta

F = 68,46 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 6,308 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 4 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω

R_eq = R₁ + 2,308 = 4 + 2,308 = 6,308 Ω

Resposta

R_eq = 6,308 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,1731 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 10 = 20 Ω

R₄ ∥ 20 = 3,333 Ω

R₃ + 3,333 = 33,33 Ω

R₂ ∥ 33,33 = 12,5 Ω

R_eq = R₁ + 12,5 = 20 + 12,5 = 32,5 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/32,5 = 0,2769 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,2769·20 = 3,462 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,462/20 = 0,1731 A

Resposta

I_R2 = 0,1731 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,642 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 2·e^−5/4,4 = 0,642 A

Resposta

i = 0,642 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 19,9 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 24 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 100 µF = 470 ms

v_C(t) = 9 + (24 − 9)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(150) = 9 + (15)·e^−150/470 = 19,9 V

Resposta

v_C = 19,9 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para baixo na página

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

v: para a esquerda, B: entrando na página

Sentido da força

para baixo na página

Resposta

F: para baixo na página

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 39,48 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Indutância mútua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·500·100·0,0003142/0,5 = 39,48 µH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 3,948 × 10⁻⁵·1000 = 39,48 mV

Resposta

ε = 39,48 mV

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 14,34 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16,93 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 230/50 = 4,6 A

I_X = V/X_C = 230/16,93 = 13,58 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(4,6² + 13,58²) = 14,34 A

Resposta

I = 14,34 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 17,89 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,02·0,1·10⁻⁶) = 22361 rad/s

I = V/R = 2/50 = 0,04 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 22361·0,02 = 447,2 Ω

V_L = I·X_L = 0,04·447,2 = 17,89 V

Resposta

V_L = 17,89 V

Isso é Q = 8,944 vezes a tensão da fonte.

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