Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +5 µC e +8 µC estão a 20 cm uma da outra. A que distância x da carga de +5 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +5 µCq₂ = +8 µCd = 20 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 2 × 10⁷ m/s. As placas têm 4 cm de comprimento e o campo entre elas é 5000 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 2 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 5000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 20 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 15 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 12 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 300 ms.

V_s = 30 VR₁ = 10 kΩR₂ = 6,8 kΩC = 220 µFt = 300 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 12 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 6 V, exatamente 250 ms após o início. Com R = 10 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 12 VV_th = 6 VT = 250 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira quadrada move-se para a direita e entra numa região com um campo magnético uniforme que aponta entrando na página. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho, enquanto a espira está entrando no campo.

B: entrando na páginaentrando no campo

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 800 espiras, comprimento de 15 cm e diâmetro de 2,5 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 1,5 A.

N = 800l = 15 cm⌀ = 2,5 cmI = 1,5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 47 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 500 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 25 ΩL = 50 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 8,83 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

5/x² = 8/(20 − x)²

(20 − x)/x = √(8/5) = 1,265

Posição

x = 20/(1 + 1,265) = 8,83 cm

Resposta

x = 8,83 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 1,759 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,04/2 × 10⁷ = 2 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·5000/9,109 × 10⁻³¹ = 8,794 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·8,794 × 10¹⁴·(2 × 10⁻⁹)² = 0,001759 m = 1,759 mm

Resposta

y = 1,759 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,5 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 20 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 3·24/(3+24) = 2,667 Ω

R_eq = R₁ + 2,667 = 4 + 2,667 = 6,667 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/6,667 = 1,5 A

Resposta

I_R1 = 1,5 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,746 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 12 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 10,67 Ω

R₃ + 10,67 = 12,67 Ω

R₂ ∥ 12,67 = 1,727 Ω

R_eq = R₁ + 1,727 = 4 + 1,727 = 5,727 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/5,727 = 1,746 A

Resposta

I_R1 = 1,746 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 3,473 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 10·6,8/(10 + 6,8) = 4,048 kΩ

v_C(∞) = 30·6,8/(10 + 6,8) = 12,14 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 4,048·220 = 890,5 ms

Curva de carga

v_C(t) = 12,14·(1 − e^−300/890,5) = 3,473 V

Resposta

v_C = 3,473 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 36,07 µF

Constante de tempo necessária

6 = 12·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(12/(12 − 6))

τ = 250/0,6931 = 360,7 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 360,7/10 = 36,07 µF

Resposta

C = 36,07 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: anti-horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo entrando na página aumenta, ou o fluxo saindo da página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: saindo da página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

anti-horário

Resposta

anti-horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 2,961 mJ

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 2,632 mH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·0,002632·1,5² = 0,002961 J = 2,961 mJ

Resposta

W = 2,961 mJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 2,338 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (37,81)²) = 42,77 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/42,77 = 2,338 A

Resposta

I = 2,338 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 71,18 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,05·100·10⁻⁶)) = 71,18 Hz

Resposta

f₀ = 71,18 Hz

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