Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +6 µC e uma carga de −10 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 12,5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +6 µCq₂ = −10 µCr₁ = 12,5 cmr₂ = 37,5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 2 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 50 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 10° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 2 gL = 50 cmθ = 10°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 15 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 99% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 24 VR = 15 ΩL = 33 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 18 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 7,6 V? Encontre t.

V_s = 5 VR = 3,3 kΩC = 220 µFv_C(0) = 18 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 200 espiras tem uma área de 40 cm². A bobina está num campo uniforme de 0,5 T perpendicular ao seu plano, e o campo é desligado em 250 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 200A = 40 cm²B = 0,5 TΔt = 250 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina curta de 100 espiras está enrolada firmemente em torno do meio de um solenoide longo de 2000 espiras, comprimento de 40 cm e diâmetro de 2 cm. Encontre a indutância mútua M entre eles.

N₁ = 2000N₂ = 100l = 40 cm⌀ = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 120 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 50 mH

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 100 Ω, L = 200 mH e C = 1 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 100 ΩL = 200 mHC = 1 µF

B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 4,091 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,125² = 3,452 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,375² = 639289 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |3,452 × 10⁶ + 639289| = 4,091 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 4,091 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 107,7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,002·9,81·tan 10° = 0,00346 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 10° = 0,1736 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1736·√(0,00346/8,99 × 10⁹) = 1,077 × 10⁻⁷ C = 107,7 nC

Resposta

q = 107,7 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 28,75 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 15 = 21 Ω

R₂ ∥ 21 = 15·21/(15+21) = 8,75 Ω

R_eq = R₁ + 8,75 = 20 + 8,75 = 28,75 Ω

Resposta

R_eq = 28,75 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 26,52 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 15 + 30 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 5,294 Ω

R₃ + 5,294 = 35,29 Ω

R₂ ∥ 35,29 = 6,522 Ω

R_eq = R₁ + 6,522 = 20 + 6,522 = 26,52 Ω

Resposta

R_eq = 26,52 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 10,13 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 33 mH / 15 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 24/15 = 1,6 A

Resolva para o tempo

0,99 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,99)

t = −2,2·ln(0,01) = 10,13 ms

Resposta

t = 10,13 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 1168 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 5 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 220 µF = 726 ms

v_C(t) = 5 + (18 − 5)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

7,6 = 5 + (13)·e^−t/τ → e^−t/τ = (7,6 − 5)/(18 − 5) = 0,2

t = τ·ln((18 − 5)/(7,6 − 5)) = 726·ln(5) = 1168 ms

Resposta

t = 1168 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 1,6 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 0,5·0,004 = 0,002 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 200·0,002/0,25 = 1,6 V

Resposta

ε = 1,6 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: M = 197,4 µH

Indutância mútua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·100·0,0003142/0,4 = 197,4 µH

Resposta

M = 197,4 µH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 38,76 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·500·0,05 = 157,1 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 120/40 = 3 A

I_X = V/X_L = 120/157,1 = 0,7639 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(3² + 0,7639²) = 3,096 A

Impedância

|Z| = V/I = 120/3,096 = 38,76 Ω

Resposta

|Z| = 38,76 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 79,58 Hz

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,2·1·10⁻⁶)) = 355,9 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,2/(1·10⁻⁶)) = 4,472

Largura de banda

B = f₀/Q = 355,9/4,472 = 79,58 Hz

Resposta

B = 79,58 Hz

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