Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +4 µC e −5 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 30 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −5 µCr = 30 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 10 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 3 µC está a 6 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 1 µC está a 5 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 1 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 6 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 8 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 36 VR₁ = 12 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 10 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 100 ms.

V_s = 20 VR₁ = 3,3 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 33 µFt = 100 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 20 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 40 ms.

V_s = 10 VR = 2,2 kΩC = 68 µFv_C(0) = 20 Vt = 40 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 25 espiras tem uma área de 80 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0 T para 0,3 T em 50 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 25A = 80 cm²B: 0 T → 0,3 TΔt = 50 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 20 espiras, 20 cm × 10 cm, gira a 3600 rpm num campo uniforme de 0,3 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E₀.

N = 20A = 20 cm × 10 cmB = 0,3 Tn = 3600 rpm

E₀ = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 12 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 120 V (eficaz), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 50 ΩC = 100 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,02497 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (4 + −5)/2 = −0,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 0,02497 N

Resposta

F = 0,02497 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 83,1 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·3·10 × 10⁻¹²/0,06² = 74,92 N

F₂ = k·1·10 × 10⁻¹²/0,05² = 35,96 N

Soma vetorial

F = √(74,92² + 35,96²) = 83,1 N

Resposta

F = 83,1 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,4 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 8 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 4·10/(4+10) = 2,857 Ω

R_eq = R₁ + 2,857 = 15 + 2,857 = 17,86 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/17,86 = 0,56 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 10 − 0,56·15 = 1,6 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,6/4 = 0,4 A

Resposta

I_R2 = 0,4 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,94 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 4 + 10 = 14 Ω

R₄ ∥ 14 = 6,462 Ω

R₃ + 6,462 = 36,46 Ω

R₂ ∥ 36,46 = 6,561 Ω

R_eq = R₁ + 6,561 = 12 + 6,561 = 18,56 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 36/18,56 = 1,94 A

Resposta

I_R1 = 1,94 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 9,288 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 3,3·4,7/(3,3 + 4,7) = 1,939 kΩ

v_C(∞) = 20·4,7/(3,3 + 4,7) = 11,75 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 1,939·33 = 63,98 ms

Curva de carga

v_C(t) = 11,75·(1 − e^−100/63,98) = 9,288 V

Resposta

v_C = 9,288 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 17,65 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms

v_C(t) = 10 + (20 − 10)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(40) = 10 + (10)·e^−40/149,6 = 17,65 V

Resposta

v_C = 17,65 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 1,2 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,3 − 0)·0,008 = 0,0024 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 25·0,0024/0,05 = 1,2 V

Resposta

ε = 1,2 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E₀ = 45,24 V

Velocidade angular e área

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s

A = 0,02 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 20·0,3·0,02·377 = 45,24 V

Resposta

E₀ = 45,24 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 19,18 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 12/20 = 0,6 A

I_X = V/X_C = 12/67,73 = 0,1772 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,6² + 0,1772²) = 0,6256 A

Impedância

|Z| = V/I = 12/0,6256 = 19,18 Ω

Resposta

|Z| = 19,18 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 2,181 A

Reatância

X_C = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26,53 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 10,98 − j20,7 Ω

Impedância total

Z = 40 + 10,98 − j20,7 = 50,98 − j20,7 Ω

|Z| = √(50,98² + 20,7²) = 55,02 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 120/55,02 = 2,181 A

Resposta

I = 2,181 A

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