Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +3 µC e +10 µC estão a 60 cm uma da outra. A que distância x da carga de +3 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +3 µCq₂ = +10 µCd = 60 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 3 µC está a 4 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 5 µC está a 10 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 5 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 1 ms.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 12 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 15,6 V? Encontre t.

V_s = 24 VR = 2,2 kΩC = 220 µFv_C(0) = 12 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton move-se para cima na página num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da força magnética sobre ele.

v: para cima na páginaB: saindo da página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 500 espiras, 5 cm × 25 cm, gira a 1200 rpm num campo uniforme de 0,4 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre a fem de pico E₀.

N = 500A = 5 cm × 25 cmB = 0,4 Tn = 1200 rpm

E₀ = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 50 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 15 ΩL = 200 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 50 Ω, L = 10 mH e C = 0,01 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 50 ΩL = 10 mHC = 0,01 µF

B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 21,23 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

3/x² = 10/(60 − x)²

(60 − x)/x = √(10/3) = 1,826

Posição

x = 60/(1 + 1,826) = 21,23 cm

Resposta

x = 21,23 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 87,23 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,04² = 84,28 N

F₂ = k·5·5 × 10⁻¹²/0,1² = 22,47 N

Soma vetorial

F = √(84,28² + 22,47²) = 87,23 N

Resposta

F = 87,23 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,745 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 10 = 30 Ω

R₂ ∥ 30 = 2·30/(2+30) = 1,875 Ω

R_eq = R₁ + 1,875 = 5 + 1,875 = 6,875 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/6,875 = 1,745 A

Resposta

I_R1 = 1,745 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,3601 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 3 = 13 Ω

R₄ ∥ 13 = 6,24 Ω

R₃ + 6,24 = 36,24 Ω

R₂ ∥ 36,24 = 2,771 Ω

R_eq = R₁ + 2,771 = 25 + 2,771 = 27,77 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/27,77 = 0,3601 A

Resposta

I_R1 = 0,3601 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 0,05457 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 47 Ω = 0,2128 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0,1277 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 6·e^−1/0,2128 = 0,05457 V

Resposta

v_L = 0,05457 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 172,6 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 12 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 220 µF = 484 ms

v_C(t) = 24 + (12 − 24)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

15,6 = 24 + (−12)·e^−t/τ → e^−t/τ = (15,6 − 24)/(12 − 24) = 0,7

t = τ·ln((12 − 24)/(15,6 − 24)) = 484·ln(1,429) = 172,6 ms

Resposta

t = 172,6 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para a direita

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

v: para cima na página, B: saindo da página

Sentido da força

para a direita

Resposta

F: para a direita

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E₀ = 314,2 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·1200/60 = 125,7 rad/s

A = 0,0125 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 500·0,4·0,0125·125,7 = 314,2 V

Resposta

E₀ = 314,2 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 64,18 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,2 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (31)²) = 34,44 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(31/15) = 64,18°

Resposta

φ = 64,18°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 795,8 Hz

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,01·0,01·10⁻⁶)) = 15915 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,01/(0,01·10⁻⁶)) = 20

Largura de banda

B = f₀/Q = 15915/20 = 795,8 Hz

Resposta

B = 795,8 Hz

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