Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +6 µC e +4 µC estão a 40 cm uma da outra. A que distância x da carga de +6 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +6 µCq₂ = +4 µCd = 40 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 1 × 10⁷ m/s. As placas têm 4 cm de comprimento e o campo entre elas é 2200 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 2200 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 15 VR₁ = 5 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 3 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 10 ms.

V_s = 12 VR = 20 ΩL = 100 mHt = 10 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Quanto tempo após t = 0 a corrente do indutor atinge 0,7 A? Encontre t.

V_s = 10 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩL = 100 mH

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma barra metálica de 80 cm de comprimento desliza a 2,5 m/s sobre dois trilhos num campo uniforme de 0,25 T entrando na página. Os trilhos são ligados por um resistor de 2 Ω; a barra e os trilhos têm resistência desprezível. Encontre a potência P dissipada no resistor.

B = 0,25 TL = 80 cmv = 2,5 m/sR = 2 Ω

P = mW

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 100 espiras, comprimento de 30 cm e diâmetro de 5 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 100l = 30 cm⌀ = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 10 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 100 Hz. Encontre a tensão rms V_C no capacitor.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 22 µF

V_C = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 22,02 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

6/x² = 4/(40 − x)²

(40 − x)/x = √(4/6) = 0,8165

Posição

x = 40/(1 + 0,8165) = 22,02 cm

Resposta

x = 22,02 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 3,095 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,04/1 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·2200/9,109 × 10⁻³¹ = 3,869 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·3,869 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0,003095 m = 3,095 mm

Resposta

y = 3,095 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 23,53 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 6 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 5·12/(5+12) = 3,529 Ω

R_eq = R₁ + 3,529 = 20 + 3,529 = 23,53 Ω

Resposta

R_eq = 23,53 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,6495 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 3 = 28 Ω

R₄ ∥ 28 = 4,242 Ω

R₃ + 4,242 = 24,24 Ω

R₂ ∥ 24,24 = 9,266 Ω

R_eq = R₁ + 9,266 = 5 + 9,266 = 14,27 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/14,27 = 1,051 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 15 − 1,051·5 = 9,743 V

I_R2 = V_A/R₂ = 9,743/15 = 0,6495 A

Resposta

I_R2 = 0,6495 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,5188 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 100 mH / 20 Ω = 5 ms

i(∞) = V_s/R = 12/20 = 0,6 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,6·(1 − e^−10/5) = 0,5188 A

Resposta

i = 0,5188 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 5,108 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 10/(10 + 10) = 0,5 A

i(∞) = 10/10 = 1 A

τ = L/R = 100/10 = 10 ms

i(t) = 1 + (0,5 − 1)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

e^−t/τ = (0,7 − 1)/(0,5 − 1) = 0,6

t = 10·ln(1,667) = 5,108 ms

Resposta

t = 5,108 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: P = 125 mW

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de movimento

ε = BLv = 0,25·0,8·2,5 = 0,5 V

Corrente

I = ε/R = 0,5/2 = 0,25 A

Potência

P = εI = 0,5·0,25 = 0,125 W

Resposta

P = 125 mW

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 82,25 µH

Seção transversal

A = π·(0,025)² = 0,001963 m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,001963/0,3 = 8,225 × 10⁻⁵ H = 82,25 µH

Resposta

L = 82,25 µH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,2224 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,2 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·10·10⁻⁶) = 159,2 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−33,49)²) = 44,96 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/44,96 = 0,2224 A

Resposta

I = 0,2224 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_C = 162,5 V

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,15 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·22·10⁻⁶) = 72,34 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(100² + (21,9)²) = 102,4 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 230/102,4 = 2,247 A

Tensão no capacitor

V_C = I·X_C = 2,247·72,34 = 162,5 V

Resposta

V_C = 162,5 V

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