Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de +3 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 25 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = +3 µCr₁ = 25 cmr₂ = 25 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +6 µC e +6 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está a 5 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = +6 µCd = 10 cmh = 5 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 10 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 20 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 25 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 20 ms.

V_s = 6 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 20 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 20 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 16,8 V? Encontre t.

V_s = 12 VR = 4,7 kΩC = 22 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um elétron move-se para a esquerda num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. Clique no sentido da força magnética sobre ele.

v: para a esquerdaB: saindo da página

1para cima na página
2para a direita
3para baixo na página
4para a esquerda

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma partícula alfa passa sem desvio por um seletor de velocidade com campos cruzados E = 2 × 10⁵ V/m e B₁ = 0,05 T. Em seguida entra numa segunda região com apenas um campo magnético B₂ = 0,5 T, em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória ali.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,05 TB₂ = 0,5 Tm = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ C

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 60 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 100 V (rms)f = 60 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 100 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 5 Ω, L = 20 mH e C = 0,22 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.

R = 5 ΩL = 20 mHC = 0,22 µF

Q =

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 287680 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,25² = 143840 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,25² = 431520 N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |143840 − 431520| = 287680 N/C

Resposta

E = 287680 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,526 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(5² + 5²) = 7,071 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,07071² = 1,079 × 10⁷ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1,079 × 10⁷·0,7071 = 1,526 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 1,526 × 10⁷ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 12,79 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 20 = 40 Ω

R₂ ∥ 40 = 3·40/(3+40) = 2,791 Ω

R_eq = R₁ + 2,791 = 10 + 2,791 = 12,79 Ω

Resposta

R_eq = 12,79 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,5324 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 25 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 16,67 Ω

R₃ + 16,67 = 26,67 Ω

R₂ ∥ 26,67 = 12,9 Ω

R_eq = R₁ + 12,9 = 4 + 12,9 = 16,9 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/16,9 = 0,5324 A

Resposta

I_R1 = 0,5324 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,2792 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7,5 ms

i(∞) = V_s/R = 6/20 = 0,3 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,3·(1 − e^−20/7,5) = 0,2792 A

Resposta

i = 0,2792 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 52,82 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 22 µF = 103,4 ms

v_C(t) = 12 + (20 − 12)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

16,8 = 12 + (8)·e^−t/τ → e^−t/τ = (16,8 − 12)/(20 − 12) = 0,6

t = τ·ln((20 − 12)/(16,8 − 12)) = 103,4·ln(1,667) = 52,82 ms

Resposta

t = 52,82 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: para baixo na página

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Regra da mão direita

Aponte os dedos ao longo da corrente ou da velocidade e curve-os em direção a B; o polegar dá a força sobre uma carga positiva.

v: para a esquerda, B: saindo da página

Carga negativa

A força sobre um elétron é oposta à força sobre uma carga positiva.

Sentido da força

para baixo na página

Resposta

F: para baixo na página

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 16,59 cm

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,05 = 4 × 10⁶ m/s

Raio no segundo campo

r = mv/(|q|B₂) = 0,1659 m = 16,59 cm

Resposta

r = 16,59 cm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,5231

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 75,4 Ω, X_C = 26,53 Ω

Impedância

|Z| = √(30² + (48,87)²) = 57,35 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 30/57,35 = 0,5231

O circuito é indutivo, então o fator de potência é indutivo (atrasado).

Resposta

cos φ = 0,5231

10.Impedância CA e fasores

Resposta: Q = 60,3

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,02·0,22·10⁻⁶)) = 2399 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,02/(0,22·10⁻⁶)) = 60,3

Resposta

Q = 60,3

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