Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de −6 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 15 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = −6 µCr₁ = 15 cmr₂ = 45 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 3 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 20 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 8° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 20 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 30 VR₁ = 20 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 8 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 8 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W(∞) armazenada no indutor depois que o circuito se estabiliza, em mJ.

V_s = 10 VR = 10 ΩL = 22 mH

W(∞) = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente do indutor i em t = 1 ms.

V_s = 20 VR₁ = 15 ΩR₂ = 47 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 250 espiras tem uma área de 200 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,05 T para 0,85 T em 10 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 250A = 200 cm²B: 0,05 T → 0,85 TΔt = 10 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 100 espiras, comprimento de 10 cm e diâmetro de 2,5 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 100l = 10 cm⌀ = 2,5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = µH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 20 mH deve ressoar a 1000 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 1000 HzL = 20 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 12 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 12 V (rms)R = 20 ΩL = 200 mHC = 10 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 665926 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,15² = 399556 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0,45² = 266370 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |399556 + 266370| = 665926 N/C

Resposta

E = 665926 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 37,76 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 8° = 0,004136 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,2·sin 8° = 0,05567 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,05567·√(0,004136/8,99 × 10⁹) = 3,776 × 10⁻⁸ C = 37,76 nC

Resposta

q = 37,76 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,107 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 8 + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 20·11/(20+11) = 7,097 Ω

R_eq = R₁ + 7,097 = 20 + 7,097 = 27,1 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/27,1 = 1,107 A

Resposta

I_R1 = 1,107 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 14,45 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 25 + 10 = 35 Ω

R₄ ∥ 35 = 6,512 Ω

R₃ + 6,512 = 9,512 Ω

R₂ ∥ 9,512 = 6,446 Ω

R_eq = R₁ + 6,446 = 8 + 6,446 = 14,45 Ω

Resposta

R_eq = 14,45 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W(∞) = 11 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 10 Ω = 2,2 ms

i(∞) = V_s/R = 10/10 = 1 A

Energia armazenada

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·22·1² = 11 mJ

Resposta

W(∞) = 11 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,5928 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.

i(0) = 20/15 = 1,333 A

i(∞) = 20/(15 + 47) = 0,3226 A

τ = L/R = 47/62 = 0,7581 ms

i(t) = 0,3226 + (1,333 − 0,3226)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(1) = 0,3226 + (1,011)·e^−1/0,7581 = 0,5928 A

Resposta

i = 0,5928 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 400 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,85 − 0,05)·0,02 = 0,016 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 250·0,016/0,01 = 400 V

Resposta

ε = 400 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 61,69 µH

Seção transversal

A = π·(0,0125)² = 0,0004909 m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·100²·0,0004909/0,1 = 6,169 × 10⁻⁵ H = 61,69 µH

Resposta

L = 61,69 µH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 1,267 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·1000 = 6283 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(6283²·0,02) = 1,267 µF

Resposta

C = 1,267 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 84,85 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,2·10·10⁻⁶) = 707,1 rad/s

I = V/R = 12/20 = 0,6 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 707,1·0,2 = 141,4 Ω

V_L = I·X_L = 0,6·141,4 = 84,85 V

Resposta

V_L = 84,85 V

Isso é Q = 7,071 vezes a tensão da fonte.

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