Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −3 µC à esquerda, −2 µC à direita a 10 cm de distância, e −3 µC entre elas, a 2,5 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −3 µCq_R = −2 µCq_M = −3 µCr_L = 2,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +6 µC e −6 µC estão a 10 cm uma da outra. O ponto P está a 10 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +6 µCq₂ = −6 µCd = 10 cmh = 10 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 4 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W(∞) armazenada no indutor depois que o circuito se estabiliza, em mJ.

V_s = 6 VR = 5 ΩL = 220 mH

W(∞) = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está aberta há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave fecha e coloca R₂ em curto. Quanto tempo após t = 0 a corrente do indutor atinge 0,16 A? Encontre t.

V_s = 6 VR₁ = 33 ΩR₂ = 22 ΩL = 100 mH

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 10 espiras tem uma área de 150 cm². A bobina está num campo uniforme de 0,1 T perpendicular ao seu plano, e o campo é desligado em 40 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 10A = 150 cm²B = 0,1 TΔt = 40 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 500 espiras, comprimento de 25 cm e diâmetro de 5 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 3 A.

N = 500l = 25 cm⌀ = 5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 500 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 24 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 200 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 100 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 119,9 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = +k·3·3 × 10⁻¹²/0,025² = 129,5 N

F_R = −k·2·3 × 10⁻¹²/0,075² = −9,589 N

Força resultante

F = 129,5 + (−9,589) = 119,9 N → |F| = 119,9 N

Resposta

F = 119,9 N

A força resultante aponta para a direita.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,86 × 10⁶ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(5² + 10²) = 11,18 cm

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,1118² = 4,315 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·4,315 × 10⁶·0,4472 = 3,86 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 3,86 × 10⁶ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,2353 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 4 = 24 Ω

R₂ ∥ 24 = 3·24/(3+24) = 2,667 Ω

R_eq = R₁ + 2,667 = 20 + 2,667 = 22,67 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/22,67 = 0,2647 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2647·20 = 0,7059 V

I_R2 = V_A/R₂ = 0,7059/3 = 0,2353 A

Resposta

I_R2 = 0,2353 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 11,88 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 10 = 16 Ω

R₄ ∥ 16 = 9,756 Ω

R₃ + 9,756 = 21,76 Ω

R₂ ∥ 21,76 = 8,879 Ω

R_eq = R₁ + 8,879 = 3 + 8,879 = 11,88 Ω

Resposta

R_eq = 11,88 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W(∞) = 158,4 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 220 mH / 5 Ω = 44 ms

i(∞) = V_s/R = 6/5 = 1,2 A

Energia armazenada

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·220·1,2² = 158,4 mJ

Resposta

W(∞) = 158,4 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,648 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 os dois resistores estão na malha; depois a chave fechada desvia R₂.

i(0) = 6/(33 + 22) = 0,1091 A

i(∞) = 6/33 = 0,1818 A

τ = L/R = 100/33 = 3,03 ms

i(t) = 0,1818 + (0,1091 − 0,1818)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

e^−t/τ = (0,16 − 0,1818)/(0,1091 − 0,1818) = 0,3

t = 3,03·ln(3,333) = 3,648 ms

Resposta

t = 3,648 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 375 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 0,1·0,015 = 0,0015 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 10·0,0015/0,04 = 0,375 V

Resposta

ε = 375 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 11,1 mJ

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 2,467 mH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·0,002467·3² = 0,0111 J = 11,1 mJ

Resposta

W = 11,1 mJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 56,15 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3,183 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (59,65)²) = 71,82 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(59,65/40) = 56,15°

Resposta

φ = 56,15°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 112,5 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,02·100·10⁻⁶)) = 112,5 Hz

Resposta

f₀ = 112,5 Hz

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