Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +2 µC e +8 µC estão a 50 cm uma da outra. A que distância x da carga de +2 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +2 µCq₂ = +8 µCd = 50 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +1 µC e −1 µC estão a 12 cm uma da outra. O ponto P está a 12 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +1 µCq₂ = −1 µCd = 12 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 4 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 10 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 10 ms.

V_s = 12 VR = 20 ΩL = 150 mHt = 10 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 20 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para v_C chegar a 22,8 V? Encontre t.

V_s = 24 VR = 1 kΩC = 22 µFv_C(0) = 20 V

t = ms

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa movendo-se a 2 × 10⁶ m/s entra em um campo magnético uniforme em ângulo reto e descreve um círculo de raio 20,74 cm. Encontre a densidade de fluxo magnético B.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 2 × 10⁶ m/sr = 20,74 cm

B = T

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 100 mH varia de forma constante de 7 A para 2 A em 1 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 100 mH7 A → 2 AΔt = 1 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 100 mHC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 16,67 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

2/x² = 8/(50 − x)²

(50 − x)/x = √(8/2) = 2

Posição

x = 50/(1 + 2) = 16,67 cm

Resposta

x = 16,67 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 446717 N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(6² + 12²) = 13,42 cm

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1342² = 499444 N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·499444·0,4472 = 446717 N/C

Resposta

E = 446717 N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,193 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 15·20/(15+20) = 8,571 Ω

R_eq = R₁ + 8,571 = 4 + 8,571 = 12,57 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/12,57 = 1,193 A

Resposta

I_R1 = 1,193 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,9356 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 4 + 2 = 6 Ω

R₄ ∥ 6 = 1,5 Ω

R₃ + 1,5 = 6,5 Ω

R₂ ∥ 6,5 = 2,826 Ω

R_eq = R₁ + 2,826 = 10 + 2,826 = 12,83 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/12,83 = 0,9356 A

Resposta

I_R1 = 0,9356 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 3,163 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 20 Ω = 7,5 ms

i(∞) = V_s/R = 12/20 = 0,6 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−10/7,5 = 3,163 V

Resposta

v_L = 3,163 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 26,49 ms

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 1 kΩ · 22 µF = 22 ms

v_C(t) = 24 + (20 − 24)·e^−t/τ

Resolva para o tempo

22,8 = 24 + (−4)·e^−t/τ → e^−t/τ = (22,8 − 24)/(20 − 24) = 0,3

t = τ·ln((20 − 24)/(22,8 − 24)) = 22·ln(3,333) = 26,49 ms

Resposta

t = 26,49 ms

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 0,2 T

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Campo a partir do raio

B = mv/(|q|r) = 6,645 × 10⁻²⁷·2 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,2074) = 0,2 T

Resposta

B = 0,2 T

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 500 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,1·5/0,001 = 500 V

Resposta

ε = 500 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,3307 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,1 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (299,7)²) = 302,3 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 100/302,3 = 0,3307 A

Resposta

I = 0,3307 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,0185 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,1 = 31,42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·4,7·10⁻⁶) = 677,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−645,8)²) = 648,6 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/648,6 = 0,0185 A

Resposta

I = 0,0185 A

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