Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +10 µC e uma carga de −8 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 15 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +10 µCq₂ = −8 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 1 × 10⁷ m/s. As placas têm 3 cm de comprimento e o campo entre elas é 1000 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 3 cmE = 1000 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 18 VR₁ = 5 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 5 VR₁ = 15 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 10 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 3 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Quanto tempo leva para a corrente cair até 1,5 A? Encontre t.

i(0) = 3 AR = 100 ΩL = 68 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente do indutor i em t = 20 ms.

V_s = 9 VR₁ = 10 ΩR₂ = 10 ΩL = 220 mHt = 20 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 5 cm um do outro, conduzem correntes de 5 A e 15 A no mesmo sentido. Encontre a força por metro de comprimento F/L entre eles.

I₁ = 5 AI₂ = 15 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 50 mH varia de forma constante de 0,5 A para 4,5 A em 20 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 50 mH0,5 A → 4,5 AΔt = 20 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 24 V (eficaz), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 50 mH

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 230 V (rms)f = 50 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,276 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,15² = 3,996 × 10⁶ N/C

E₂ = k·8 × 10⁻⁶/0,05² = 2,877 × 10⁷ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |3,996 × 10⁶ + 2,877 × 10⁷| = 3,276 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 3,276 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,7914 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,03/1 × 10⁷ = 3 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·1000/9,109 × 10⁻³¹ = 1,759 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·1,759 × 10¹⁴·(3 × 10⁻⁹)² = 0,0007914 m = 0,7914 mm

Resposta

y = 0,7914 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,263 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 12 + 20 = 32 Ω

R₂ ∥ 32 = 8·32/(8+32) = 6,4 Ω

R_eq = R₁ + 6,4 = 5 + 6,4 = 11,4 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/11,4 = 1,579 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 18 − 1,579·5 = 10,11 V

I_R2 = V_A/R₂ = 10,11/8 = 1,263 A

Resposta

I_R2 = 1,263 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 18,25 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 5 + 10 = 15 Ω

R₄ ∥ 15 = 9,375 Ω

R₃ + 9,375 = 17,38 Ω

R₂ ∥ 17,38 = 3,251 Ω

R_eq = R₁ + 3,251 = 15 + 3,251 = 18,25 Ω

Resposta

R_eq = 18,25 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 0,4713 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0,68 ms

Resolva para o tempo

1,5 = 3·e^−t/τ → t = τ·ln(3/1,5)

t = 0,68·ln(2) = 0,4713 ms

Resposta

t = 0,4713 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,523 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.

i(0) = 9/10 = 0,9 A

i(∞) = 9/(10 + 10) = 0,45 A

τ = L/R = 220/20 = 11 ms

i(t) = 0,45 + (0,9 − 0,45)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(20) = 0,45 + (0,45)·e^−20/11 = 0,523 A

Resposta

i = 0,523 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F/L = 300 µN/m

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Força por metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·5·15/0,05 = 300 µN/m

Resposta

F/L = 300 µN/m

Correntes no mesmo sentido se atraem.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 10 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,05·4/0,02 = 10 V

Resposta

ε = 10 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,579 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·50·0,05 = 15,71 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 24/60 = 0,4 A

I_X = V/X_L = 24/15,71 = 1,528 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,4² + 1,528²) = 1,579 A

Resposta

I = 1,579 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 12,12 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,05 = 15,71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·100·10⁻⁶) = 31,83 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−16,12)²) = 18,97 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 230/18,97 = 12,12 A

Resposta

I = 12,12 A

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