Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +6 µC e uma carga de −1 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 36 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +6 µCq₂ = −1 µCr₁ = 36 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 8 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 8 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 6 µC está a 6 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 8 µCq₂ = 6 µCq₃ = 8 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 6 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 18 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 6 VR₁ = 12 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 3 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 75% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 12 VR = 20 ΩL = 47 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 25 ms.

V_s = 12 VR₁ = 10 kΩR₂ = 1 kΩC = 47 µFt = 25 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton move-se a 8 × 10⁶ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 0,5 T. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sB = 0,5 T

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 800 espiras, comprimento de 30 cm e diâmetro de 1 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 5 A.

N = 800l = 30 cm⌀ = 1 cmI = 5 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 200 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 230 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR₁ = 25 ΩR₂ = 50 ΩC = 4,7 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 572280 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,36² = 416204 N/C

E₂ = k·1 × 10⁻⁶/0,24² = 156076 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |416204 + 156076| = 572280 N/C

Resposta

E = 572280 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 149,8 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·8·8 × 10⁻¹²/0,08² = 89,9 N

F₂ = k·6·8 × 10⁻¹²/0,06² = 119,9 N

Soma vetorial

F = √(89,9² + 119,9²) = 149,8 N

Resposta

F = 149,8 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,8432 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 15·11/(15+11) = 6,346 Ω

R_eq = R₁ + 6,346 = 15 + 6,346 = 21,35 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 18/21,35 = 0,8432 A

Resposta

I_R1 = 0,8432 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,1751 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 3 + 5 = 8 Ω

R₄ ∥ 8 = 4,8 Ω

R₃ + 4,8 = 24,8 Ω

R₂ ∥ 24,8 = 9,347 Ω

R_eq = R₁ + 9,347 = 12 + 9,347 = 21,35 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 6/21,35 = 0,2811 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0,2811·12 = 2,627 V

I_R2 = V_A/R₂ = 2,627/15 = 0,1751 A

Resposta

I_R2 = 0,1751 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 3,258 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 47 mH / 20 Ω = 2,35 ms

i(∞) = V_s/R = 12/20 = 0,6 A

Resolva para o tempo

0,75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,75)

t = −2,35·ln(0,25) = 3,258 ms

Resposta

t = 3,258 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 0,6409 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 12·1/(10 + 1) = 1,091 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 1·47 = 47 ms

Descarga

v_C(t) = 1,091·e^−25/47 = 0,6409 V

Resposta

v_C = 0,6409 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 16,71 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 1,673 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,5) = 0,1671 m = 16,71 cm

Resposta

r = 16,71 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 2,632 mJ

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 210,6 µH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·0,0002106·5² = 0,002632 J = 2,632 mJ

Resposta

W = 2,632 mJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = −80,38 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,1 = 125,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−236,1)²) = 239,4 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−236,1/40) = −80,38°

Resposta

φ = −80,38°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 62,14 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 32,36 − j23,89 Ω

Impedância total

Z = 25 + 32,36 − j23,89 = 57,36 − j23,89 Ω

|Z| = √(57,36² + 23,89²) = 62,14 Ω

Resposta

|Z| = 62,14 Ω

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