Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: +4 µC à esquerda, +5 µC à direita a 30 cm de distância, e −8 µC entre elas, a 22,5 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +4 µCq_R = +5 µCq_M = −8 µCr_L = 22,5 cmr_R = 7,5 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 3 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 80 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 12° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 3 gL = 80 cmθ = 12°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 2 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 8 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 10 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 10 ΩR₆ = 30 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 10 ms, em mJ.

V_s = 12 VR = 15 ΩL = 150 mHt = 10 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 20 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 250 ms.

V_s = 24 VR = 3,3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 20 Vt = 250 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma barra metálica de 100 cm de comprimento desliza a 3 m/s sobre dois trilhos num campo uniforme de 0,8 T entrando na página. Os trilhos são ligados por um resistor de 0,5 Ω; a barra e os trilhos têm resistência desprezível. Encontre a corrente I.

B = 0,8 TL = 100 cmv = 3 m/sR = 0,5 Ω

I = A

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

A corrente em um indutor de 80 mH varia de forma constante de 0 A para 1,5 A em 2 ms. Encontre o módulo da fem autoinduzida ε.

L = 80 mH0 A → 1,5 AΔt = 2 ms

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 200 mH deve ressoar a 100 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 100 HzL = 200 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 2 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 2 V (rms)R = 10 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 58,25 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = −k·4·8 × 10⁻¹²/0,225² = −5,683 N

F_R = +k·5·8 × 10⁻¹²/0,075² = 63,93 N

Força resultante

F = −5,683 + (63,93) = 58,25 N → |F| = 58,25 N

Resposta

F = 58,25 N

A força resultante aponta para a direita.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 277,5 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,003·9,81·tan 12° = 0,006256 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,8·sin 12° = 0,3327 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,3327·√(0,006256/8,99 × 10⁹) = 2,775 × 10⁻⁷ C = 277,5 nC

Resposta

q = 277,5 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,61 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 8 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 10·12/(10+12) = 5,455 Ω

R_eq = R₁ + 5,455 = 2 + 5,455 = 7,455 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/7,455 = 1,61 A

Resposta

I_R1 = 1,61 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,175 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 10 + 30 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 4,444 Ω

R₃ + 4,444 = 8,444 Ω

R₂ ∥ 8,444 = 3,508 Ω

R_eq = R₁ + 3,508 = 5 + 3,508 = 8,508 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 10/8,508 = 1,175 A

Resposta

I_R1 = 1,175 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 19,18 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 15 Ω = 10 ms

i(∞) = V_s/R = 12/15 = 0,8 A

Corrente no instante dado

i(t) = 0,8·(1 − e^−10/10) = 0,5057 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·150·0,5057² = 19,18 mJ

Resposta

W = 19,18 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 23,2 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 20 V, v_C(∞) = V_s = 24 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 24 + (20 − 24)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(250) = 24 + (−4)·e^−250/155,1 = 23,2 V

Resposta

v_C = 23,2 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 4,8 A

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de movimento

ε = BLv = 0,8·1·3 = 2,4 V

Corrente

I = ε/R = 2,4/0,5 = 4,8 A

Resposta

I = 4,8 A

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 60 V

Fem autoinduzida

A fem se opõe à variação da corrente (Lenz), então seu sinal é oposto ao de ΔI; o valor é L·|ΔI|/Δt.

ε = L·ΔI/Δt = 0,08·1,5/0,002 = 60 V

Resposta

ε = 60 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 12,67 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·100 = 628,3 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(628,3²·0,2) = 12,67 µF

Resposta

C = 12,67 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 6,325 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 2/10 = 0,2 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 3162·0,01 = 31,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,2·31,62 = 6,325 V

Resposta

V_L = 6,325 V

Isso é Q = 3,162 vezes a tensão da fonte.

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