Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +5 µC e uma carga de +5 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 37,5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +5 µCq₂ = +5 µCr₁ = 37,5 cmr₂ = 12,5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 10 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 100 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 5° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 100 cmθ = 5°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 3 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 12 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 2 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a constante de tempo τ do circuito após o fechamento da chave.

V_s = 24 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 10 kΩC = 100 µF

τ = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 15 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 7,5 V, exatamente 1000 ms após o início. Com R = 10 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 15 VV_th = 7,5 VT = 1000 msR = 10 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 20 espiras tem uma área de 200 cm². A bobina está num campo uniforme de 0,2 T perpendicular ao seu plano, e o campo é desligado em 50 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 20A = 200 cm²B = 0,2 TΔt = 50 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina curta de 20 espiras está enrolada firmemente em torno do meio de um solenoide longo de 800 espiras, comprimento de 20 cm e diâmetro de 3 cm. A corrente no solenoide varia a 10 A/s. Encontre a fem ε induzida na bobina curta.

N₁ = 800N₂ = 20l = 20 cm⌀ = 3 cmdi/dt = 10 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

ε = µV

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 230 V (rms)f = 60 HzR = 20 ΩL = 250 mHC = 10 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 120 V (rms), 60 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 120 V (rms)f = 60 HzR = 40 ΩL = 100 mHC = 10 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,557 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,375² = 319644 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,125² = 2,877 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |319644 − 2,877 × 10⁶| = 2,557 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 2,557 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 170,3 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 5° = 0,008583 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·1·sin 5° = 0,1743 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1743·√(0,008583/8,99 × 10⁹) = 1,703 × 10⁻⁷ C = 170,3 nC

Resposta

q = 170,3 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 4,75 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 2·14/(2+14) = 1,75 Ω

R_eq = R₁ + 1,75 = 3 + 1,75 = 4,75 Ω

Resposta

R_eq = 4,75 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 0,5016 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 2 = 10 Ω

R₄ ∥ 10 = 5,455 Ω

R₃ + 5,455 = 8,455 Ω

R₂ ∥ 8,455 = 5,942 Ω

R_eq = R₁ + 5,942 = 12 + 5,942 = 17,94 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/17,94 = 0,5016 A

Resposta

I_R1 = 0,5016 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: τ = 404,8 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 6,8·10/(6,8 + 10) = 4,048 kΩ

v_C(∞) = 24·10/(6,8 + 10) = 14,29 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 4,048·100 = 404,8 ms

Resposta

τ = 404,8 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 144,3 µF

Constante de tempo necessária

7,5 = 15·(1 − e^−1000/τ) → τ = 1000/ln(15/(15 − 7,5))

τ = 1000/0,6931 = 1443 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 1443/10 = 144,3 µF

Resposta

C = 144,3 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 1,6 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 0,2·0,02 = 0,004 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,004/0,05 = 1,6 V

Resposta

ε = 1,6 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 710,6 µV

Indutância mútua

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·800·20·0,0007069/0,2 = 71,06 µH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 7,106 × 10⁻⁵·10 = 710,6 µV

Resposta

ε = 710,6 µV

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,336 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,25 = 94,25 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(20² + (−171)²) = 172,2 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 230/172,2 = 1,336 A

Resposta

I = 1,336 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,5194 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·60 = 377 rad/s

X_L = ωL = 377·0,1 = 37,7 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(377·10·10⁻⁶) = 265,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−227,6)²) = 231 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 120/231 = 0,5194 A

Resposta

I = 0,5194 A

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