Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de −5 µC e −3 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 30 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = −3 µCr = 30 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 4 × 10⁷ m/s. As placas têm 6 cm de comprimento e o campo entre elas é 3100 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 4 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 3100 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 4 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 18 VR₁ = 10 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a energia W armazenada no indutor em t = 1 ms, em mJ.

V_s = 12 VR = 22 ΩL = 22 mHt = 1 ms

W = mJ

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 10 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 40 ms.

V_s = 9 VR = 3,3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 10 Vt = 40 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma barra metálica de 30 cm de comprimento desliza a 2 m/s sobre dois trilhos num campo uniforme de 0,6 T entrando na página. Os trilhos são ligados por um resistor de 10 Ω; a barra e os trilhos têm resistência desprezível. Encontre a força F necessária para manter a barra em movimento com velocidade constante (sem atrito).

B = 0,6 TL = 30 cmv = 2 m/sR = 10 Ω

F = mN

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 100 mH e 100 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,9. A corrente na primeira bobina varia a 200 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 100 mHL₂ = 100 mHk = 0,9di/dt = 200 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 100 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 15 ΩL = 100 mHC = 100 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 24 V (eficaz), 60 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 24 V (rms)f = 60 HzR₁ = 20 ΩR₂ = 80 ΩC = 47 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 1,598 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (−5 + −3)/2 = −4 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(4 × 10⁻⁶)²/0,3² = 1,598 N

Resposta

F = 1,598 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 0,6133 mm

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,06/4 × 10⁷ = 1,5 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·3100/9,109 × 10⁻³¹ = 5,452 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·5,452 × 10¹⁴·(1,5 × 10⁻⁹)² = 0,0006133 m = 0,6133 mm

Resposta

y = 0,6133 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 22,24 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 10 + 4 = 14 Ω

R₂ ∥ 14 = 15·14/(15+14) = 7,241 Ω

R_eq = R₁ + 7,241 = 15 + 7,241 = 22,24 Ω

Resposta

R_eq = 22,24 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 24,78 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 15 + 25 = 40 Ω

R₄ ∥ 40 = 17,14 Ω

R₃ + 17,14 = 29,14 Ω

R₂ ∥ 29,14 = 14,78 Ω

R_eq = R₁ + 14,78 = 10 + 14,78 = 24,78 Ω

Resposta

R_eq = 24,78 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: W = 1,308 mJ

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 22 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 12/22 = 0,5455 A

Corrente no instante dado

i(t) = 0,5455·(1 − e^−1/1) = 0,3448 A

Energia armazenada

W = ½·L·i² = ½·22·0,3448² = 1,308 mJ

Resposta

W = 1,308 mJ

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 9,773 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 10 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 3,3 kΩ · 47 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 9 + (10 − 9)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(40) = 9 + (1)·e^−40/155,1 = 9,773 V

Resposta

v_C = 9,773 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F = 6,48 mN

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de movimento

ε = BLv = 0,6·0,3·2 = 0,36 V

Corrente

I = ε/R = 0,36/10 = 0,036 A

Força de frenagem

Lei de Lenz: a força sobre a corrente induzida se opõe ao movimento.

F = BIL = 0,6·0,036·0,3 = 0,00648 N

Resposta

F = 6,48 mN

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 18 V

Indutância mútua

M = 0,9·√(100·100) = 90 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,09·200 = 18 V

Resposta

ε = 18 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,3045

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 62,83 Ω, X_C = 15,92 Ω

Impedância

|Z| = √(15² + (46,92)²) = 49,26 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 15/49,26 = 0,3045

O circuito é indutivo, então o fator de potência é indutivo (atrasado).

Resposta

cos φ = 0,3045

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 59,92 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·60·47·10⁻⁶) = 56,44 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 26,58 − j37,68 Ω

Impedância total

Z = 20 + 26,58 − j37,68 = 46,58 − j37,68 Ω

|Z| = √(46,58² + 37,68²) = 59,92 Ω

Resposta

|Z| = 59,92 Ω

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