Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +10 µC e uma carga de −4 µC estão a 30 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 7,5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +10 µCq₂ = −4 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 22,5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 6 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 1 µC está a 4 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 2 µC está a 10 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 1 µCq₂ = 2 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 5 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 20 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 15 ΩR₆ = 8 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 2 ms.

V_s = 10 VR = 22 ΩL = 33 mHt = 2 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave em paralelo com R₂ está fechada há muito tempo, então a corrente do indutor é constante. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente do indutor i em t = 5 ms.

V_s = 15 VR₁ = 15 ΩR₂ = 20 ΩL = 100 mHt = 5 ms

i = A

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Um próton descreve um círculo num campo magnético uniforme de 0,8 T. Encontre o tempo T que ele leva para uma volta.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CB = 0,8 T

T = ns

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma partícula alfa parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 10000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,1 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ CV = 10000 VB = 0,1 T

r = cm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 12 V (eficaz), 200 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩL = 100 mH

|Z| = Ω

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 24 V (eficaz), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR₁ = 40 ΩR₂ = 100 ΩC = 10 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,669 × 10⁷ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,075² = 1,598 × 10⁷ N/C

E₂ = k·4 × 10⁻⁶/0,225² = 710321 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |1,598 × 10⁷ + 710321| = 1,669 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 1,669 × 10⁷ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 35,4 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·1·6 × 10⁻¹²/0,04² = 33,71 N

F₂ = k·2·6 × 10⁻¹²/0,1² = 10,79 N

Soma vetorial

F = √(33,71² + 10,79²) = 35,4 N

Resposta

F = 35,4 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,728 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 5 = 25 Ω

R₂ ∥ 25 = 3·25/(3+25) = 2,679 Ω

R_eq = R₁ + 2,679 = 6 + 2,679 = 8,679 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 15/8,679 = 1,728 A

Resposta

I_R1 = 1,728 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 29,6 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 15 + 8 = 23 Ω

R₄ ∥ 23 = 4,107 Ω

R₃ + 4,107 = 14,11 Ω

R₂ ∥ 14,11 = 9,595 Ω

R_eq = R₁ + 9,595 = 20 + 9,595 = 29,6 Ω

Resposta

R_eq = 29,6 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,3347 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 33 mH / 22 Ω = 1,5 ms

i(∞) = V_s/R = 10/22 = 0,4545 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,4545·(1 − e^−2/1,5) = 0,3347 A

Resposta

i = 0,3347 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,5279 A

Valor inicial, valor final, constante de tempo

Antes de t = 0 a chave fechada desvia R₂; depois R₁ e R₂ estão os dois na malha.

i(0) = 15/15 = 1 A

i(∞) = 15/(15 + 20) = 0,4286 A

τ = L/R = 100/35 = 2,857 ms

i(t) = 0,4286 + (1 − 0,4286)·e^−t/τ

Corrente no instante dado

i(5) = 0,4286 + (0,5714)·e^−5/2,857 = 0,5279 A

Resposta

i = 0,5279 A

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: T = 82,02 ns

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Período do movimento circular

Uma partícula mais rápida descreve um círculo maior, então o tempo por volta permanece o mesmo.

T = 2πm/(|q|B) = 2π·1,673 × 10⁻²⁷/(1,602 × 10⁻¹⁹·0,8) = 82,02 ns

Resposta

T = 82,02 ns

A velocidade não é necessária: é por isso que um cíclotron pode usar uma única frequência fixa.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 20,37 cm

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·3,204 × 10⁻¹⁹·10000/(6,645 × 10⁻²⁷)) = 982005 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,2037 m = 20,37 cm

Resposta

r = 20,37 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 46,46 Ω

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·200·0,1 = 125,7 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 12/50 = 0,24 A

I_X = V/X_L = 12/125,7 = 0,09549 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,24² + 0,09549²) = 0,2583 A

Impedância

|Z| = V/I = 12/0,2583 = 46,46 Ω

Resposta

|Z| = 46,46 Ω

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,2591 A

Reatância

X_C = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 38,77 − j48,72 Ω

Impedância total

Z = 40 + 38,77 − j48,72 = 78,77 − j48,72 Ω

|Z| = √(78,77² + 48,72²) = 92,62 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 24/92,62 = 0,2591 A

Resposta

I = 0,2591 A

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