Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de uma carga pontual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga
F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo
τ = RC | τ = L/R
Resposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Capacitor em CC
circuito aberto; vC não pode saltar
Indutor em CC
curto-circuito; iL não pode saltar
Regime permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
  2. Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
  4. Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo
B = μ0I/(2πr)
Centro de uma bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide longo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio
F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga
F = |q|vB·sin θ
Movimento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluxo
Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento
ε = BLv
Gerador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indutância
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Seletor de velocidade e espectrômetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
  2. Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
  3. Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
  4. Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frequência angular
ω = 2πf
Módulo e ângulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial
V = I·Z

Método

  1. Converta a frequência: ω = 2πf.
  2. Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
  4. Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
++8 µC−−6 µCP60 cm

Uma carga de +8 µC e uma carga de −6 µC estão a 60 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 15 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q1 = +8 µCq2 = −6 µCr1 = 15 cmr2 = 45 cm
E = N/C
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
++P2 × 6 cm12 cm+10 µC+10 µC

Cargas de +10 µC e +10 µC estão a 12 cm uma da outra. O ponto P está a 12 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +10 µCq2 = +10 µCd = 12 cmh = 12 cm
E = N/C
3.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

Encontre a corrente IR1 fornecida pela fonte, que passa por R1.

V1 = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
4.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 12 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩIR2​AR4​2 ΩBR6​20 Ω

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 6 VR1 = 12 ΩR2 = 2 ΩR3 = 6 ΩR4 = 2 ΩR5 = 2 ΩR6 = 20 Ω
IR2 = A
5.Transitórios RC e RLMédia
+−Vs​12 Vt = 0R = 20 ΩL68 mHi(t)

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 80% do seu valor final? Encontre t.

Vs = 12 VR = 20 ΩL = 68 mH
t = ms
6.Transitórios RC e RLDifícil
+−Vs​5 Vt = 0R = 2,2 kΩC68 µF+−vC​vC​(0) = 4 V

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 4 V com a polaridade indicada. Quanto tempo leva para vC chegar a 4,5 V? Encontre t.

Vs = 5 VR = 2,2 kΩC = 68 µFvC(0) = 4 V
t = ms
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
nBA = 50 cm², N = 20B: 0,1 → 0,7 T

Uma bobina de 20 espiras tem uma área de 50 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,1 T para 0,7 T em 20 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 20A = 50 cm²B: 0,1 T → 0,7 TΔt = 20 ms
ε = V
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
V = 5000 VB = 0,2 Tr = ?

Um próton parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 5000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,2 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 5000 VB = 0,2 T
r = cm
9.Impedância CA e fasoresMédia
100 V200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 10 µF

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 200 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 150 mHC = 10 µF
φ = °
10.Impedância CA e fasoresDifícil
VfR = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF

Um circuito RLC série tem R = 50 Ω, L = 100 mH e C = 10 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 50 ΩL = 100 mHC = 10 µF
B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 3,463 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E1 = k·8 × 10⁻⁶/0,15² = 3,196 × 10⁶ N/C
E2 = k·6 × 10⁻⁶/0,45² = 266370 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |3,196 × 10⁶ + 266370| = 3,463 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 3,463 × 10⁶ N/C
2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 8,934 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(6² + 12²) = 13,42 cm
E1 = k·10 × 10⁻⁶/0,1342² = 4,994 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E1·(h/r) = 2·4,994 × 10⁶·0,8944 = 8,934 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 8,934 × 10⁶ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR1 = 0,5065 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 15 ΩR3​ = 5 Ω+−V1​9 VR2​4 ΩAR4​4 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 4·9/(4+9) = 2,769 Ω
Req = R1 + 2,769 = 15 + 2,769 = 17,77 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 9/17,77 = 0,5065 A

Resposta

IR1 = 0,5065 A
4.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 0,3516 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 12 ΩR3​ = 6 ΩR5​ = 2 Ω+−V1​6 VR2​2 ΩAR4​2 ΩBR6​20 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 2 + 20 = 22 Ω
R4 ∥ 22 = 1,833 Ω
R3 + 1,833 = 7,833 Ω
R2 ∥ 7,833 = 1,593 Ω
Req = R1 + 1,593 = 12 + 1,593 = 13,59 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 6/13,59 = 0,4414 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 6 − 0,4414·12 = 0,7032 V
IR2 = VA/R2 = 0,7032/2 = 0,3516 A

Resposta

IR2 = 0,3516 A
5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 5,472 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 68 mH / 20 Ω = 3,4 ms
i(∞) = Vs/R = 12/20 = 0,6 A

Resolva para o tempo

0,8 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,8)
t = −3,4·ln(0,2) = 5,472 ms

Resposta

t = 5,472 ms
6.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 103,7 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

vC(0) = 4 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 68 µF = 149,6 ms
vC(t) = 5 + (4 − 5)·e−t/τ

Resolva para o tempo

4,5 = 5 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (4,5 − 5)/(4 − 5) = 0,5
t = τ·ln((4 − 5)/(4,5 − 5)) = 149,6·ln(2) = 103,7 ms

Resposta

t = 103,7 ms
7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 3 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,7 − 0,1)·0,005 = 0,003 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,003/0,02 = 3 V

Resposta

ε = 3 V
8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 5,11 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·5000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 978551 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,0511 m = 5,11 cm

Resposta

r = 5,11 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 61,15 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0,15 = 188,5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79,58 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (108,9)²) = 124,4 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(108,9/60) = 61,15°

Resposta

φ = 61,15°
10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 79,58 Hz

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Frequência de ressonância

f0 = 1/(2π·√(0,1·10·10⁻⁶)) = 159,2 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/50)·√(0,1/(10·10⁻⁶)) = 2

Largura de banda

B = f0/Q = 159,2/2 = 79,58 Hz

Resposta

B = 79,58 Hz

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