Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Três cargas pontuais estão sobre uma reta: −10 µC à esquerda, −6 µC à direita a 40 cm de distância, e +6 µC entre elas, a 16 cm da carga da esquerda. Encontre o módulo da força elétrica resultante F sobre a carga do meio. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = −10 µCq_R = −6 µCq_M = +6 µCr_L = 16 cmr_R = 24 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +3 µC e +3 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está a 12 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +3 µCq₂ = +3 µCd = 20 cmh = 12 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 8 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 10 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 12 ΩR₆ = 25 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

V_s = 15 VR = 68 ΩL = 22 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 12 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 7,58 V, exatamente 20 ms após o início. Com C = 1 µF, encontre a resistência R necessária.

V_s = 12 VV_th = 7,58 VT = 20 msC = 1 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 20 espiras tem uma área de 25 cm². Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,05 T para 0,15 T em 10 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 20A = 25 cm²B: 0,05 T → 0,15 TΔt = 10 ms

ε = mV

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 50 mH e 200 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,9. A corrente na primeira bobina varia a 10 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 50 mHL₂ = 200 mHk = 0,9di/dt = 10 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um capacitor estão ligados em paralelo a uma fonte de 24 V (eficaz), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 24 V (rms)f = 200 HzR = 100 ΩC = 22 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 5 Ω, L = 10 mH e C = 2,2 µF. Encontre seu fator de qualidade Q na ressonância.

R = 5 ΩL = 10 mHC = 2,2 µF

Q =

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 15,45 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força de cada carga

A direita é positiva.

F_L = −k·10·6 × 10⁻¹²/0,16² = −21,07 N

F_R = +k·6·6 × 10⁻¹²/0,24² = 5,619 N

Força resultante

F = −21,07 + (5,619) = −15,45 N → |F| = 15,45 N

Resposta

F = 15,45 N

A força resultante aponta para a esquerda.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,698 × 10⁶ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(10² + 12²) = 15,62 cm

E₁ = k·3 × 10⁻⁶/0,1562² = 1,105 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E₁·(h/r) = 2·1,105 × 10⁶·0,7682 = 1,698 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,698 × 10⁶ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,4219 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 10 = 12 Ω

R₂ ∥ 12 = 8·12/(8+12) = 4,8 Ω

R_eq = R₁ + 4,8 = 8 + 4,8 = 12,8 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/12,8 = 0,7031 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,7031·8 = 3,375 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,375/8 = 0,4219 A

Resposta

I_R2 = 0,4219 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 23,62 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 12 + 25 = 37 Ω

R₄ ∥ 37 = 9,061 Ω

R₃ + 9,061 = 13,06 Ω

R₂ ∥ 13,06 = 3,616 Ω

R_eq = R₁ + 3,616 = 20 + 3,616 = 23,62 Ω

Resposta

R_eq = 23,62 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,2106 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 22 mH / 68 Ω = 0,3235 ms

i(∞) = V_s/R = 15/68 = 0,2206 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,2206·(1 − e^−1/0,3235) = 0,2106 A

Resposta

i = 0,2106 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: R = 20,02 kΩ

Constante de tempo necessária

7,58 = 12·(1 − e^−20/τ) → τ = 20/ln(12/(12 − 7,58))

τ = 20/0,9988 = 20,02 ms

Resistência

kΩ vezes µF dá milissegundos.

R = τ/C = 20,02/1 = 20,02 kΩ

Resposta

R = 20,02 kΩ

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 500 mV

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (0,15 − 0,05)·0,0025 = 0,00025 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 20·0,00025/0,01 = 0,5 V

Resposta

ε = 500 mV

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 0,9 V

Indutância mútua

M = 0,9·√(50·200) = 90 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,09·10 = 0,9 V

Resposta

ε = 0,9 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,7056 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36,17 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 24/100 = 0,24 A

I_X = V/X_C = 24/36,17 = 0,6635 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,24² + 0,6635²) = 0,7056 A

Resposta

I = 0,7056 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: Q = 13,48

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,01·2,2·10⁻⁶)) = 1073 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/5)·√(0,01/(2,2·10⁻⁶)) = 13,48

Resposta

Q = 13,48

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