Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +6 µC e uma carga de +5 µC estão a 30 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 7,5 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +6 µCq₂ = +5 µCr₁ = 7,5 cmr₂ = 22,5 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 8 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 40 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 20° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 40 cmθ = 20°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 9 VR₁ = 20 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 20 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 12 VR₁ = 15 ΩR₂ = 30 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 25 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 6 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 10 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a corrente i₂ em R₂ em t = 500 ms.

V_s = 30 VR₁ = 6,8 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 47 µFt = 500 ms

i₂ = mA

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. A intensidade do campo está aumentando. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: entrando na páginadB/dt > 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 80 mH e 50 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,6. A corrente na primeira bobina varia a 20 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 80 mHL₂ = 50 mHk = 0,6di/dt = 20 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 12 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 20 ΩL = 20 mH

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série tem R = 100 Ω, L = 200 mH e C = 0,01 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 100 ΩL = 200 mHC = 0,01 µF

B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 8,701 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,075² = 9,589 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0,225² = 887901 N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |9,589 × 10⁶ − 887901| = 8,701 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 8,701 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 487,7 nC

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,008·9,81·tan 20° = 0,02856 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,4·sin 20° = 0,2736 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,2736·√(0,02856/8,99 × 10⁹) = 4,877 × 10⁻⁷ C = 487,7 nC

Resposta

q = 487,7 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,312 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 20 = 26 Ω

R₂ ∥ 26 = 5·26/(5+26) = 4,194 Ω

R_eq = R₁ + 4,194 = 20 + 4,194 = 24,19 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/24,19 = 0,372 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0,372·20 = 1,56 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1,56/5 = 0,312 A

Resposta

I_R2 = 0,312 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,2131 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 30 + 6 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 14,75 Ω

R₃ + 14,75 = 39,75 Ω

R₂ ∥ 39,75 = 17,1 Ω

R_eq = R₁ + 17,1 = 15 + 17,1 = 32,1 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/32,1 = 0,3739 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 12 − 0,3739·15 = 6,392 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6,392/30 = 0,2131 A

Resposta

I_R2 = 0,2131 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 4,415 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 10 Ω = 1 ms

i(∞) = V_s/R = 12/10 = 1,2 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−1/1 = 4,415 V

Resposta

v_L = 4,415 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: i₂ = 0,2713 mA

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 30·4,7/(6,8 + 4,7) = 12,26 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 4,7·47 = 220,9 ms

Descarga

v_C(t) = 12,26·e^−500/220,9 = 1,275 V

i₂ = v_C/R₂ = 1,275/4,7 = 0,2713 mA

Resposta

i₂ = 0,2713 mA

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: anti-horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo entrando na página aumenta, ou o fluxo saindo da página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: saindo da página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

anti-horário

Resposta

anti-horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 0,7589 V

Indutância mútua

M = 0,6·√(80·50) = 37,95 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,03795·20 = 0,7589 V

Resposta

ε = 0,7589 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 17,66 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·500·0,02 = 62,83 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 12/20 = 0,6 A

I_X = V/X_L = 12/62,83 = 0,191 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(0,6² + 0,191²) = 0,6297 A

Ângulo de fase

A corrente do indutor está atrasada em relação a V, então a corrente total fica atrasada e o ângulo é positivo.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0,191/0,6) = 17,66°

Resposta

φ = 17,66°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 79,58 Hz

Frequência de ressonância

f₀ = 1/(2π·√(0,2·0,01·10⁻⁶)) = 3559 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0,2/(0,01·10⁻⁶)) = 44,72

Largura de banda

B = f₀/Q = 3559/44,72 = 79,58 Hz

Resposta

B = 79,58 Hz

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