Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +4 µC e +5 µC estão a 30 cm uma da outra. A que distância x da carga de +4 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +4 µCq₂ = +5 µCd = 30 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Duas pequenas bolinhas idênticas, cada uma com massa de 10 g, estão penduradas no mesmo ponto por fios isolantes de 50 cm. Elas recebem cargas iguais e cada fio se estabiliza a 8° da vertical. Use g = 9,81 m/s². Encontre a carga q de cada bolinha em nC. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 10 gL = 50 cmθ = 8°g = 9,81 m/s²

q = nC

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 15 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 6 ΩR₄ = 5 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 30 VR₁ = 5 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 25 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 10 ms.

V_s = 6 VR = 50 ΩL = 220 mHt = 10 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 9 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 8,1 V, exatamente 500 ms após o início. Com R = 2,2 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 9 VV_th = 8,1 VT = 500 msR = 2,2 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. A intensidade do campo está aumentando. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: saindo da páginadB/dt > 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 2000 espiras, comprimento de 30 cm e diâmetro de 1 cm. Encontre a sua autoindutância L.

N = 2000l = 30 cm⌀ = 1 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

L = mH

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 1 mH deve ressoar a 200 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 200 HzL = 1 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 100 V (eficaz), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 40 ΩC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 14,16 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

4/x² = 5/(30 − x)²

(30 − x)/x = √(5/4) = 1,118

Posição

x = 30/(1 + 1,118) = 14,16 cm

Resposta

x = 14,16 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: q = 172,3 nC

Força elétrica pelo equilíbrio

A parte horizontal da tração equilibra F, a parte vertical equilibra m·g.

F = m·g·tan θ = 0,01·9,81·tan 8° = 0,01379 N

Separação

r = 2·L·sin θ = 2·0,5·sin 8° = 0,1392 m

Carga

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0,1392·√(0,01379/8,99 × 10⁹) = 1,723 × 10⁻⁷ C = 172,3 nC

Resposta

q = 172,3 nC

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 1,521 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 6 + 5 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 2·11/(2+11) = 1,692 Ω

R_eq = R₁ + 1,692 = 15 + 1,692 = 16,69 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/16,69 = 1,797 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 1,797·15 = 3,041 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,041/2 = 1,521 A

Resposta

I_R2 = 1,521 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 2,363 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 8 + 25 = 33 Ω

R₄ ∥ 33 = 15,71 Ω

R₃ + 15,71 = 17,71 Ω

R₂ ∥ 17,71 = 4,482 Ω

R_eq = R₁ + 4,482 = 5 + 4,482 = 9,482 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 30/9,482 = 3,164 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 30 − 3,164·5 = 14,18 V

I_R2 = V_A/R₂ = 14,18/6 = 2,363 A

Resposta

I_R2 = 2,363 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,1076 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 220 mH / 50 Ω = 4,4 ms

i(∞) = V_s/R = 6/50 = 0,12 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,12·(1 − e^−10/4,4) = 0,1076 A

Resposta

i = 0,1076 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 98,7 µF

Constante de tempo necessária

8,1 = 9·(1 − e^−500/τ) → τ = 500/ln(9/(9 − 8,1))

τ = 500/2,303 = 217,1 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 217,1/2,2 = 98,7 µF

Resposta

C = 98,7 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo saindo da página aumenta, ou o fluxo entrando na página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: entrando na página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

horário

Resposta

horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: L = 1,316 mH

Seção transversal

A = π·(0,005)² = 7,854 × 10⁻⁵ m²

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 4π × 10⁻⁷·2000²·7,854 × 10⁻⁵/0,3 = 0,001316 H = 1,316 mH

Resposta

L = 1,316 mH

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 633,3 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(1257²·0,001) = 633,3 µF

Resposta

C = 633,3 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 1,608 A

Reatância

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 29,66 − j17,51 Ω

Impedância total

Z = 30 + 29,66 − j17,51 = 59,66 − j17,51 Ω

|Z| = √(59,66² + 17,51²) = 62,17 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 100/62,17 = 1,608 A

Resposta

I = 1,608 A

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