Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Cargas de +1 µC e +10 µC estão a 100 cm uma da outra. A que distância x da carga de +1 µC, na reta entre elas, o campo elétrico é zero?

q₁ = +1 µCq₂ = +10 µCd = 100 cm

x = cm

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 1 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 2 µC está a 5 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 8 µC está a 4 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 8 µCq₃ = 1 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 4 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 24 VR₁ = 20 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

I_R2 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R2 em R₂.

V₁ = 5 VR₁ = 4 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 15 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 15 Ω

I_R2 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 90% do seu valor final? Encontre t.

V_s = 5 VR = 22 ΩL = 10 mH

t = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 30 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 30 ms.

V_s = 9 VR = 2,2 kΩC = 22 µFv_C(0) = 30 Vt = 30 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 12 cm um do outro, conduzem correntes de 20 A e 5 A em sentidos opostos. Encontre a força por metro de comprimento F/L entre eles.

I₁ = 20 AI₂ = 5 Ad = 12 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

F/L = µN/m

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Num seletor de velocidade, campos cruzados E = 2 × 10⁵ V/m e B = 0,1 T deixam passar em linha reta apenas íons de uma única velocidade. Encontre essa velocidade v.

E = 2 × 10⁵ V/mB₁ = 0,1 T

v = m/s

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série com L = 5 mH deve ressoar a 60 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f₀ = 60 HzL = 5 mH

C = µF

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 12 V (rms), 100 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 12 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: x = 24,03 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Campos iguais

1/x² = 10/(100 − x)²

(100 − x)/x = √(10/1) = 3,162

Posição

x = 100/(1 + 3,162) = 24,03 cm

Resposta

x = 24,03 cm

O ponto nulo fica sempre mais perto da carga menor.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 45,52 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·2·1 × 10⁻¹²/0,05² = 7,192 N

F₂ = k·8·1 × 10⁻¹²/0,04² = 44,95 N

Soma vetorial

F = √(7,192² + 44,95²) = 45,52 N

Resposta

F = 45,52 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,8684 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 4·22/(4+22) = 3,385 Ω

R_eq = R₁ + 3,385 = 20 + 3,385 = 23,38 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 24/23,38 = 1,026 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 24 − 1,026·20 = 3,474 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,474/4 = 0,8684 A

Resposta

I_R2 = 0,8684 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R2 = 0,3171 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 15 = 21 Ω

R₄ ∥ 21 = 7,636 Ω

R₃ + 7,636 = 22,64 Ω

R₂ ∥ 22,64 = 6,936 Ω

R_eq = R₁ + 6,936 = 4 + 6,936 = 10,94 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 5/10,94 = 0,4572 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 5 − 0,4572·4 = 3,171 V

I_R2 = V_A/R₂ = 3,171/10 = 0,3171 A

Resposta

I_R2 = 0,3171 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 1,047 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 22 Ω = 0,4545 ms

i(∞) = V_s/R = 5/22 = 0,2273 A

Resolva para o tempo

0,9 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)

t = −0,4545·ln(0,1) = 1,047 ms

Resposta

t = 1,047 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 20,3 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 30 V, v_C(∞) = V_s = 9 V

τ = R·C = 2,2 kΩ · 22 µF = 48,4 ms

v_C(t) = 9 + (30 − 9)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(30) = 9 + (21)·e^−30/48,4 = 20,3 V

Resposta

v_C = 20,3 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: F/L = 166,7 µN/m

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Força por metro

F/L = μ₀I₁I₂/(2πd) = 2 × 10⁻⁷·20·5/0,12 = 166,7 µN/m

Resposta

F/L = 166,7 µN/m

Correntes em sentidos opostos se repelem.

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: v = 2 × 10⁶ m/s

Velocidade selecionada

Sem desvio: a força elétrica qE equilibra a força magnética qvB.

v = E/B₁ = 2 × 10⁵/0,1 = 2 × 10⁶ m/s

Resposta

v = 2 × 10⁶ m/s

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 1407 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0,005) = 1407 µF

Resposta

C = 1407 µF

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,06548 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,25 = 157,1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·4,7·10⁻⁶) = 338,6 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(25² + (−181,5)²) = 183,3 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 12/183,3 = 0,06548 A

Resposta

I = 0,06548 A

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