Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb
F = k·|q1q2|/r²
Campo de uma carga pontual
E = k·|q|/r²
Constante
k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga
F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série
Req = R1 + R2 + …
Resistências em paralelo
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
Dois em paralelo
Req = R1R2 / (R1 + R2)
Lei de Ohm
V = I·R
Potência
P = V·I = I²R = V²/R

Método

  1. Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
  2. Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
  3. Redesenhe o circuito após cada passo.
  4. Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo
τ = RC | τ = L/R
Resposta
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
Capacitor em CC
circuito aberto; vC não pode saltar
Indutor em CC
curto-circuito; iL não pode saltar
Regime permanente
t ≈ 5τ

Método

  1. Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
  2. Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
  3. Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
  4. Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo
B = μ0I/(2πr)
Centro de uma bobina plana
B = μ0NI/(2R)
Solenoide longo
B = μ0nI, n = N/L
Constante
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio
F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga
F = |q|vB·sin θ
Movimento circular
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos
F/L = μ0I1I2/(2πd)
Fluxo
Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday
ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento
ε = BLv
Gerador
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
Indutância
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
Seletor de velocidade e espectrômetro
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

  1. Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
  2. Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
  3. Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
  4. Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
Frequência angular
ω = 2πf
Módulo e ângulo
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial
V = I·Z

Método

  1. Converta a frequência: ω = 2πf.
  2. Encontre cada reatância: XL = ωL e XC = 1/(ωC).
  3. Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
  4. Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia
++6 µC−−5 µCP30 cm

Uma carga de +6 µC e uma carga de −5 µC estão a 30 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 12 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q1 = +6 µCq2 = −5 µCr1 = 12 cmr2 = 18 cm
E = N/C
2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil
++P2 × 8 cm5 cm+2 µC+2 µC

Cargas de +2 µC e +2 µC estão a 16 cm uma da outra. O ponto P está a 5 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +2 µCq2 = +2 µCd = 16 cmh = 5 cm
E = N/C
3.Resistores em série e paraleloMédia
R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩIR2​AR4​3 ΩB

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 12 VR1 = 6 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 3 Ω
IR2 = A
4.Resistores em série e paraleloDifícil
R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩIR2​AR4​3 ΩBR6​25 Ω

Encontre a corrente IR2 em R2.

V1 = 30 VR1 = 10 ΩR2 = 2 ΩR3 = 25 ΩR4 = 3 ΩR5 = 12 ΩR6 = 25 Ω
IR2 = A
5.Transitórios RC e RLMédia
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 ΩL150 mHi(t)

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Quanto tempo depois de a chave fechar a corrente chega a 90% do seu valor final? Encontre t.

Vs = 15 VR = 47 ΩL = 150 mH
t = ms
6.Transitórios RC e RLDifícil
+−Vs​15 Vt = 0R = 2,2 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 20 V

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 20 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor vC em t = 300 ms.

Vs = 15 VR = 2,2 kΩC = 100 µFvC(0) = 20 Vt = 300 ms
vC = V
7.Campos magnéticos e induçãoMédia
nBA = 50 cm², N = 100B: 0,2 → 1 T

Uma bobina de 100 espiras, área 50 cm² e resistência 2 Ω forma um circuito fechado. Um campo uniforme perpendicular à bobina aumenta de forma constante de 0,2 T para 1 T em 200 ms. Encontre a corrente induzida média I.

N = 100A = 50 cm²B: 0,2 T → 1 TΔt = 200 msR = 2 Ω
I = A
8.Campos magnéticos e induçãoDifícil
V = 1000 VB = 0,1 Tr = ?

Um próton parte do repouso, é acelerado através de uma diferença de potencial de 1000 V e depois entra num campo magnético uniforme de 0,1 T em ângulo reto. Encontre o raio r da sua trajetória no campo.

m = 1,673 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1,602 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0,1 T
r = cm
9.Impedância CA e fasoresMédia
Vf0​ = 5000 HzRL = 100 mHC = ?

Um circuito RLC série com L = 100 mH deve ressoar a 5000 Hz. Encontre a capacitância C necessária.

f0 = 5000 HzL = 100 mH
C = µF
10.Impedância CA e fasoresDifícil
VfR = 20 ΩL = 1 mHC = 0,47 µF

Um circuito RLC série tem R = 20 Ω, L = 1 mH e C = 0,47 µF. Encontre sua largura de banda B (a largura da faixa entre as frequências de meia potência), em Hz.

R = 20 ΩL = 1 mHC = 0,47 µF
B = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 5,133 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E1 = k·6 × 10⁻⁶/0,12² = 3,746 × 10⁶ N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0,18² = 1,387 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |3,746 × 10⁶ + 1,387 × 10⁶| = 5,133 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 5,133 × 10⁶ N/C
2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 2,141 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Distância e campo de uma carga

r = √(8² + 5²) = 9,434 cm
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0,09434² = 2,02 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da reta que une as cargas se anulam.

E = 2·E1·(h/r) = 2·2,02 × 10⁶·0,53 = 2,141 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 2,141 × 10⁶ N/C

O campo aponta ao longo da mediatriz, para longe das cargas.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 0,5679 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 6 ΩR3​ = 20 Ω+−V1​12 VR2​12 ΩAR4​3 ΩB

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R3 + R4 = 20 + 3 = 23 Ω
R2 ∥ 23 = 12·23/(12+23) = 7,886 Ω
Req = R1 + 7,886 = 6 + 7,886 = 13,89 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 12/13,89 = 0,8642 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 12 − 0,8642·6 = 6,815 V
IR2 = VA/R2 = 6,815/12 = 0,5679 A

Resposta

IR2 = 0,5679 A
4.Resistores em série e paralelo

Resposta: IR2 = 2,358 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

R1​ = 10 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 12 Ω+−V1​30 VR2​2 ΩAR4​3 ΩBR6​25 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R5 + R6 = 12 + 25 = 37 Ω
R4 ∥ 37 = 2,775 Ω
R3 + 2,775 = 27,77 Ω
R2 ∥ 27,77 = 1,866 Ω
Req = R1 + 1,866 = 10 + 1,866 = 11,87 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só Req, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

IR1 = V1/Req = 30/11,87 = 2,528 A

Corrente em R₂

Subtraia a queda em R₁ para obter a tensão no nó A, que é a tensão sobre R₂.

VA = V1 − IR1·R1 = 30 − 2,528·10 = 4,717 V
IR2 = VA/R2 = 4,717/2 = 2,358 A

Resposta

IR2 = 2,358 A
5.Transitórios RC e RL

Resposta: t = 7,349 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3,191 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0,3191 A

Resolva para o tempo

0,9 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0,9)
t = −3,191·ln(0,1) = 7,349 ms

Resposta

t = 7,349 ms
6.Transitórios RC e RL

Resposta: vC = 16,28 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

vC(0) = 20 V, vC(∞) = Vs = 15 V
τ = R·C = 2,2 kΩ · 100 µF = 220 ms
vC(t) = 15 + (20 − 15)·e−t/τ

Tensão no instante dado

vC(300) = 15 + (5)·e−300/220 = 16,28 V

Resposta

vC = 16,28 V
7.Campos magnéticos e indução

Resposta: I = 1 A

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = (1 − 0,2)·0,005 = 0,004 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 100·0,004/0,2 = 2 V

Corrente

I = ε/R = 2/2 = 1 A

Resposta

I = 1 A
8.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 4,57 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Velocidade após a aceleração

v = √(2|q|V/m) = √(2·1,602 × 10⁻¹⁹·1000/(1,673 × 10⁻²⁷)) = 437621 m/s

Raio no campo

r = mv/(|q|B) = 0,0457 m = 4,57 cm

Resposta

r = 4,57 cm

Combinando: r = √(2mV/|q|)/B, então íons mais pesados de mesma carga descrevem círculos maiores; é assim que se separam isótopos.

9.Impedância CA e fasores

Resposta: C = 0,01013 µF

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Condição de ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0,1) = 0,01013 µF

Resposta

C = 0,01013 µF
10.Impedância CA e fasores

Resposta: B = 3183 Hz

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Frequência de ressonância

f0 = 1/(2π·√(0,001·0,47·10⁻⁶)) = 7341 Hz

Fator de qualidade

Q compara a reatância na ressonância com a resistência: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0,001/(0,47·10⁻⁶)) = 2,306

Largura de banda

B = f0/Q = 7341/2,306 = 3183 Hz

Resposta

B = 3183 Hz

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