Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +1 µC e uma carga de +10 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 10 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +1 µCq₂ = +10 µCr₁ = 10 cmr₂ = 10 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 6 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 5 µC está a 4 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 8 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 5 µCq₂ = 8 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 2 ΩR₂ = 3 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 6 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 4 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 3 ΩR₅ = 4 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a constante de tempo τ do circuito após o fechamento da chave.

V_s = 15 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 10 kΩC = 33 µF

τ = ms

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 12 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 7,2 V, exatamente 250 ms após o início. Com R = 22 kΩ, encontre a capacitância C necessária.

V_s = 12 VV_th = 7,2 VT = 250 msR = 22 kΩ

C = µF

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta saindo da página. A intensidade do campo está aumentando. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: saindo da páginadB/dt > 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 50 espiras, 10 cm × 25 cm, gira num campo uniforme de 0,3 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 83,3 V?

N = 50A = 10 cm × 25 cmB = 0,3 TE_rms = 83,3 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 100 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 100 µF

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 24 V (rms), 50 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 24 V (rms)f = 50 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 10 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 8,091 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0,1² = 899000 N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,1² = 8,99 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |899000 − 8,99 × 10⁶| = 8,091 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 8,091 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 181,5 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·5·6 × 10⁻¹²/0,04² = 168,6 N

F₂ = k·8·6 × 10⁻¹²/0,08² = 67,42 N

Soma vetorial

F = √(168,6² + 67,42²) = 181,5 N

Resposta

F = 181,5 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 4,308 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 6 = 10 Ω

R₂ ∥ 10 = 3·10/(3+10) = 2,308 Ω

R_eq = R₁ + 2,308 = 2 + 2,308 = 4,308 Ω

Resposta

R_eq = 4,308 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,403 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 4 + 20 = 24 Ω

R₄ ∥ 24 = 2,667 Ω

R₃ + 2,667 = 4,667 Ω

R₂ ∥ 4,667 = 2,414 Ω

R_eq = R₁ + 2,414 = 4 + 2,414 = 6,414 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/6,414 = 1,403 A

Resposta

I_R1 = 1,403 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: τ = 59,51 ms

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·10/(2,2 + 10) = 1,803 kΩ

v_C(∞) = 15·10/(2,2 + 10) = 12,3 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 1,803·33 = 59,51 ms

Resposta

τ = 59,51 ms

6.Transitórios RC e RL

Resposta: C = 12,4 µF

Constante de tempo necessária

7,2 = 12·(1 − e^−250/τ) → τ = 250/ln(12/(12 − 7,2))

τ = 250/0,9163 = 272,8 ms

Capacitância

kΩ vezes µF dá milissegundos.

C = τ/R = 272,8/22 = 12,4 µF

Resposta

C = 12,4 µF

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo saindo da página aumenta, ou o fluxo entrando na página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: entrando na página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

horário

Resposta

horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 3000 rpm

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 117,8 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 117,8/(50·0,3·0,025) = 314,1 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·314,1/(2π) = 3000 rpm

Resposta

n = 3000 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 57,4 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·100 = 628,3 rad/s

X_L = ωL = 628,3·0,1 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628,3·100·10⁻⁶) = 15,92 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (46,92)²) = 55,69 Ω

Ângulo de fase

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(46,92/30) = 57,4°

Resposta

φ = 57,4°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,08796 A

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·50 = 314,2 rad/s

X_L = ωL = 314,2·0,15 = 47,12 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314,2·10·10⁻⁶) = 318,3 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (−271,2)²) = 272,8 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 24/272,8 = 0,08796 A

Resposta

I = 0,08796 A

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