Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de −5 µC e +2 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 15 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −5 µCq₂ = +2 µCr = 15 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 5 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 3 µC está a 8 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 1 µC está a 8 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 3 µCq₂ = 1 µCq₃ = 5 µCr₁₃ = 8 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 12 VR₁ = 20 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 2 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 6 VR₁ = 15 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 5 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

A fonte Vₛ carrega o capacitor através de R₁, e R₂ está ligado em paralelo com C. O capacitor está descarregado quando a chave fecha em t = 0. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 25 ms.

V_s = 24 VR₁ = 2,2 kΩR₂ = 4,7 kΩC = 22 µFt = 25 ms

v_C = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Um temporizador começa a carregar um capacitor descarregado através de um resistor a partir de uma fonte de 15 V em t = 0. Ele deve disparar quando a tensão do capacitor atingir 13,5 V, exatamente 25 ms após o início. Com C = 4,7 µF, encontre a resistência R necessária.

V_s = 15 VV_th = 13,5 VT = 25 msC = 4,7 µF

R = kΩ

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma bobina de 500 espiras tem uma área de 150 cm². A bobina é virada (girada em 180°) num campo uniforme de 0,8 T, perpendicular ao seu plano, em 40 ms. Encontre a fem induzida média ε.

N = 500A = 150 cm²B = 0,8 TΔt = 40 ms

ε = V

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Um solenoide longo com núcleo de ar tem 1500 espiras, comprimento de 40 cm e diâmetro de 5 cm. Encontre a energia W armazenada no seu campo magnético quando ele conduz 3 A.

N = 1500l = 40 cm⌀ = 5 cmI = 3 Aμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

W = mJ

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 10 V (rms)f = 500 HzR = 60 ΩL = 20 mHC = 22 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 24 V (eficaz), 500 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 80 ΩC = 4,7 µF

I = A

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,899 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (−5 + 2)/2 = −1,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(1,5 × 10⁻⁶)²/0,15² = 0,899 N

Resposta

F = 0,899 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 22,21 N

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Cada força sobre q₃

F₁ = k·3·5 × 10⁻¹²/0,08² = 21,07 N

F₂ = k·1·5 × 10⁻¹²/0,08² = 7,023 N

Soma vetorial

F = √(21,07² + 7,023²) = 22,21 N

Resposta

F = 22,21 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 23,23 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 2 + 5 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 6·7/(6+7) = 3,231 Ω

R_eq = R₁ + 3,231 = 20 + 3,231 = 23,23 Ω

Resposta

R_eq = 23,23 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 21,02 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 20 = 22 Ω

R₄ ∥ 22 = 4,074 Ω

R₃ + 4,074 = 12,07 Ω

R₂ ∥ 12,07 = 6,018 Ω

R_eq = R₁ + 6,018 = 15 + 6,018 = 21,02 Ω

Resposta

R_eq = 21,02 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 8,69 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Equivalente de Thévenin visto pelo capacitor

Coloque a fonte em curto para encontrar R_th; abra o capacitor para encontrar a tensão em que ele vai se estabilizar.

R_th = R₁ ∥ R₂ = 2,2·4,7/(2,2 + 4,7) = 1,499 kΩ

v_C(∞) = 24·4,7/(2,2 + 4,7) = 16,35 V

Constante de tempo

τ = R_th·C = 1,499·22 = 32,97 ms

Curva de carga

v_C(t) = 16,35·(1 − e^−25/32,97) = 8,69 V

Resposta

v_C = 8,69 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: R = 2,31 kΩ

Constante de tempo necessária

13,5 = 15·(1 − e^−25/τ) → τ = 25/ln(15/(15 − 13,5))

τ = 25/2,303 = 10,86 ms

Resistência

kΩ vezes µF dá milissegundos.

R = τ/C = 10,86/4,7 = 2,31 kΩ

Resposta

R = 2,31 kΩ

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 300 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo por espira

ΔΦ = 2·0,8·0,015 = 0,024 Wb

Fem média

ε = NΔΦ/Δt = 500·0,024/0,04 = 300 V

Resposta

ε = 300 V

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: W = 62,46 mJ

Autoindutância

L = μ₀N²A/l = 13,88 mH

Energia armazenada

W = ½LI² = ½·0,01388·3² = 0,06246 J = 62,46 mJ

Resposta

W = 62,46 mJ

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,1298 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0,02 = 62,83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·22·10⁻⁶) = 14,47 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (48,36)²) = 77,06 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/77,06 = 0,1298 A

Resposta

I = 0,1298 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,2601 A

Reatância

X_C = 1/(2π·500·4,7·10⁻⁶) = 67,73 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 33,4 − j39,45 Ω

Impedância total

Z = 50 + 33,4 − j39,45 = 83,4 − j39,45 Ω

|Z| = √(83,4² + 39,45²) = 92,26 Ω

Corrente

I = V/|Z| = 24/92,26 = 0,2601 A

Resposta

I = 0,2601 A

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