Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercícios Voltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +6 µC e uma carga de +10 µC estão a 40 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 16 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +6 µCq₂ = +10 µCr₁ = 16 cmr₂ = 24 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Três cargas pontuais positivas estão nos vértices de um triângulo retângulo: q₃ = 6 µC está no vértice do ângulo reto, q₁ = 2 µC está a 4 cm dele ao longo de um cateto e q₂ = 10 µC está a 10 cm dele ao longo do outro cateto. Calcule o módulo da força elétrica resultante F sobre q₃.

q₁ = 2 µCq₂ = 10 µCq₃ = 6 µCr₁₃ = 4 cmr₂₃ = 10 cm

F = N

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 12 VR₁ = 5 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 30 VR₁ = 3 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 25 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 30 ΩR₆ = 20 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a tensão v_L no indutor em t = 1 ms.

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 10 mHt = 1 ms

v_L = V

6.Transitórios RC e RLDifícil

Logo antes de a chave fechar em t = 0, o capacitor tem 18 V com a polaridade indicada. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 150 ms.

V_s = 6 VR = 4,7 kΩC = 33 µFv_C(0) = 18 Vt = 150 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma partícula alfa move-se a 8 × 10⁶ m/s perpendicularmente a um campo magnético uniforme de 0,4 T. Encontre o raio r da sua trajetória circular.

m = 6,645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3,204 × 10⁻¹⁹ Cv = 8 × 10⁶ m/sB = 0,4 T

r = cm

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 150 espiras, 12 cm × 15 cm, gira a 3000 rpm num campo uniforme de 0,2 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Encontre o valor eficaz E_rms da fem.

N = 150A = 12 cm × 15 cmB = 0,2 Tn = 3000 rpm

E_rms = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 10 V (rms), 200 Hz. Encontre a corrente rms I.

V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 250 mHC = 2,2 µF

I = A

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série é alimentado por uma fonte de 10 V (eficaz) cuja frequência é ajustada na frequência de ressonância do circuito. Encontre a tensão eficaz V_L sobre o indutor.

V = 10 V (rms)R = 20 ΩL = 10 mHC = 10 µF

V_L = V

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 546267 N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·6 × 10⁻⁶/0,16² = 2,107 × 10⁶ N/C

E₂ = k·10 × 10⁻⁶/0,24² = 1,561 × 10⁶ N/C

Sentidos e soma

As duas cargas são positivas: em P, seus campos apontam para longe de cada carga, ou seja, em sentidos opostos.

E = |2,107 × 10⁶ − 1,561 × 10⁶| = 546267 N/C

Resposta

E = 546267 N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 86,35 N

Cada força sobre q₃

F₁ = k·2·6 × 10⁻¹²/0,04² = 67,42 N

F₂ = k·10·6 × 10⁻¹²/0,1² = 53,94 N

Soma vetorial

F = √(67,42² + 53,94²) = 86,35 N

Resposta

F = 86,35 N

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,831 A

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 5 + 2 = 7 Ω

R₂ ∥ 7 = 2·7/(2+7) = 1,556 Ω

R_eq = R₁ + 1,556 = 5 + 1,556 = 6,556 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 12/6,556 = 1,831 A

Resposta

I_R1 = 1,831 A

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 12,85 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 30 + 20 = 50 Ω

R₄ ∥ 50 = 3,704 Ω

R₃ + 3,704 = 28,7 Ω

R₂ ∥ 28,7 = 9,852 Ω

R_eq = R₁ + 9,852 = 3 + 9,852 = 12,85 Ω

Resposta

R_eq = 12,85 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: v_L = 0,4426 V

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0,303 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0,3636 A

Tensão no indutor

Em t = 0 toda a tensão da fonte aparece sobre o indutor; depois ela decai a zero.

v_L(t) = V_s·e^−t/τ = 12·e^−1/0,303 = 0,4426 V

Resposta

v_L = 0,4426 V

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 10,56 V

Valor inicial, valor final, constante de tempo

A tensão no capacitor não pode saltar, então começa no valor armazenado e vai em direção à tensão da fonte.

v_C(0) = 18 V, v_C(∞) = V_s = 6 V

τ = R·C = 4,7 kΩ · 33 µF = 155,1 ms

v_C(t) = 6 + (18 − 6)·e^−t/τ

Tensão no instante dado

v_C(150) = 6 + (12)·e^−150/155,1 = 10,56 V

Resposta

v_C = 10,56 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: r = 41,48 cm

Forças magnéticas: um fio reto percorrido por I num campo B sofre F = BIL·sin θ, e uma carga em movimento sofre F = |q|vB·sin θ, em que θ é o ângulo entre a corrente (ou a velocidade) e B. A força é perpendicular a ambos: aponte os dedos da mão direita ao longo de I ou v, curve-os em direção a B, e o polegar dá F para uma carga positiva; inverta o sentido para uma carga negativa. Como F é perpendicular a v, uma carga que se move através de um campo uniforme descreve um círculo: |q|vB = mv²/r dá r = mv/(|q|B) e o período T = 2πm/(|q|B), que não depende da velocidade. Dois fios paralelos se atraem quando as correntes têm o mesmo sentido: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd).

Equilíbrio de forças

A força magnética é sempre perpendicular à velocidade, por isso curva a trajetória num círculo.

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

Raio

r = 6,645 × 10⁻²⁷·8 × 10⁶/(3,204 × 10⁻¹⁹·0,4) = 0,4148 m = 41,48 cm

Resposta

r = 41,48 cm

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: E_rms = 120 V

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Velocidade angular e área

ω = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

A = 0,018 m²

Fem de pico

E₀ = NBAω = 150·0,2·0,018·314,2 = 169,6 V

Valor eficaz

E_rms = 169,6/√2 = 120 V

Resposta

E_rms = 120 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: I = 0,2005 A

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s

X_L = ωL = 1257·0,25 = 314,2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(1257·2,2·10⁻⁶) = 361,7 Ω

Impedância

Em série as impedâncias se somam como números complexos: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(15² + (−47,56)²) = 49,87 Ω

Corrente

A mesma corrente passa por todos os elementos de um circuito série.

I = V/|Z| = 10/49,87 = 0,2005 A

Resposta

I = 0,2005 A

10.Impedância CA e fasores

Resposta: V_L = 15,81 V

Ressonância

Na ressonância as reatâncias se anulam, então a impedância é só R.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0,01·10·10⁻⁶) = 3162 rad/s

I = V/R = 10/20 = 0,5 A

Tensão sobre o indutor

X_L = ω₀L = 3162·0,01 = 31,62 Ω

V_L = I·X_L = 0,5·31,62 = 15,81 V

Resposta

V_L = 15,81 V

Isso é Q = 1,581 vezes a tensão da fonte.

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-2-electricity-and-magnetism