Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Duas pequenas esferas metálicas idênticas têm cargas de +4 µC e −3 µC. Elas são encostadas uma na outra e depois recolocadas a 30 cm de distância. Encontre o módulo da força F entre elas agora. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +4 µCq₂ = −3 µCr = 30 cm

F = N

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Cargas de +10 µC e −10 µC estão a 20 cm uma da outra. O ponto P está a 6 cm do ponto médio entre elas, na mediatriz. Encontre o módulo do campo elétrico E em P. Use k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +10 µCq₂ = −10 µCd = 20 cmh = 6 cm

E = N/C

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 24 VR₁ = 3 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 4 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 20 ΩR₃ = 30 ΩR₄ = 30 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor conduz uma corrente constante de 2,5 A. Em t = 0 a chave fecha a malha por R e a fonte é retirada, então a corrente do indutor decai por R. Encontre a corrente i em t = 1 ms.

i(0) = 2,5 AR = 100 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 150 ms.

V_s = 30 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 2,2 kΩC = 100 µFt = 150 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Dois fios longos e paralelos, a 2 cm um do outro, conduzem correntes de 30 A e 12 A em sentidos opostos. Encontre o módulo da densidade de fluxo magnético B no ponto P, a meio caminho entre eles.

I₁ = 30 AI₂ = 12 Ad = 2 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

B = µT

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Uma bobina de 20 espiras, 10 cm × 20 cm, gira num campo uniforme de 0,5 T em torno de um eixo perpendicular ao campo. Com que velocidade n (em rotações por minuto) ela deve girar para produzir uma fem eficaz de 44,43 V?

N = 20A = 10 cm × 20 cmB = 0,5 TE_rms = 44,43 V

n = rpm

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um resistor e um indutor estão ligados em paralelo a uma fonte de 24 V (eficaz), 100 Hz. Encontre o ângulo de fase φ da impedância, em graus (positivo quando a corrente está atrasada em relação à tensão).

V = 24 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 20 mH

φ = °

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 230 V (rms), 1000 Hz. Encontre a frequência de ressonância f₀ do circuito.

V = 230 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 100 mHC = 2,2 µF

f₀ = Hz

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: F = 0,02497 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Carga após o contato

q′ = (4 + −3)/2 = 0,5 µC

Nova força

F = 8,99 × 10⁹·(0,5 × 10⁻⁶)²/0,3² = 0,02497 N

Resposta

F = 0,02497 N

As duas esferas agora têm o mesmo sinal, então se repelem.

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,134 × 10⁷ N/C

Distância e campo de uma carga

r = √(10² + 6²) = 11,66 cm

E₁ = k·10 × 10⁻⁶/0,1166² = 6,61 × 10⁶ N/C

Componentes

As componentes ao longo da mediatriz se anulam.

E = 2·E₁·(a/r) = 2·6,61 × 10⁶·0,8575 = 1,134 × 10⁷ N/C

Resposta

E = 1,134 × 10⁷ N/C

O campo aponta paralelamente à reta, da carga positiva para a negativa.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 8,143 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 4 + 5 = 9 Ω

R₂ ∥ 9 = 12·9/(12+9) = 5,143 Ω

R_eq = R₁ + 5,143 = 3 + 5,143 = 8,143 Ω

Resposta

R_eq = 8,143 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 17,97 Ω

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 6 + 30 = 36 Ω

R₄ ∥ 36 = 16,36 Ω

R₃ + 16,36 = 46,36 Ω

R₂ ∥ 46,36 = 13,97 Ω

R_eq = R₁ + 13,97 = 4 + 13,97 = 17,97 Ω

Resposta

R_eq = 17,97 Ω

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,5745 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo

τ = L/R = 68 mH / 100 Ω = 0,68 ms

Decaimento da corrente

i(t) = 2,5·e^−1/0,68 = 0,5745 A

Resposta

i = 0,5745 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 4,837 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 30·2,2/(4,7 + 2,2) = 9,565 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 2,2·100 = 220 ms

Descarga

v_C(t) = 9,565·e^−150/220 = 4,837 V

Resposta

v_C = 4,837 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: B = 840 µT

Campo magnético de correntes: em torno de um fio reto e longo, as linhas de campo são círculos (regra da mão direita) com B = μ₀I/(2πr). No centro de uma bobina circular plana de N espiras, B = μ₀NI/(2R). Dentro de um solenoide longo o campo é uniforme, B = μ₀nI com n = N/L espiras por metro, qualquer que seja o raio. μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A. Trabalhe em unidades do SI (metros e ampères) e some vetorialmente os campos de várias fontes.

Campo de cada fio em P

B₁ = 2 × 10⁻⁷·30/0,01 = 600 µT

B₂ = 2 × 10⁻⁷·12/0,01 = 240 µT

Combine

B = B₁ + B₂ = 840 µT

Resposta

B = 840 µT

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: n = 3000 rpm

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Fem de pico

E₀ = √2·E_rms = 62,83 V

Velocidade angular

ω = E₀/(NBA) = 62,83/(20·0,5·0,02) = 314,2 rad/s

Rotações por minuto

n = 60·314,2/(2π) = 3000 rpm

Resposta

n = 3000 rpm

9.Impedância CA e fasores

Resposta: φ = 38,51 °

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatância

X_L = ωL = 2π·100·0,02 = 12,57 Ω

Correntes de ramo

Os dois ramos estão ligados diretamente à fonte, então cada um recebe a tensão total V.

I_R = V/R = 24/10 = 2,4 A

I_X = V/X_L = 24/12,57 = 1,91 A

Corrente total

A corrente do resistor está em fase com V e a corrente reativa está defasada de 90°, então se somam como os lados de um triângulo retângulo.

I = √(I_R² + I_X²) = √(2,4² + 1,91²) = 3,067 A

Ângulo de fase

A corrente do indutor está atrasada em relação a V, então a corrente total fica atrasada e o ângulo é positivo.

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(1,91/2,4) = 38,51°

Resposta

φ = 38,51°

10.Impedância CA e fasores

Resposta: f₀ = 339,3 Hz

Ressonância

Na ressonância as reatâncias indutiva e capacitiva se anulam: ωL = 1/(ωC). A frequência da fonte não importa.

f₀ = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0,1·2,2·10⁻⁶)) = 339,3 Hz

Resposta

f₀ = 339,3 Hz

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