Física 2: Eletricidade e Magnetismo: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 10 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Lei de Coulomb e campos elétricos

Lei de Coulomb: F = k·|q₁q₂|/r²
Campo de uma carga pontual: E = k·|q|/r²
Constante: k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C²
Força sobre uma carga: F = q·E

Resistores em série e paralelo

Resistências em série: R_eq = R₁ + R₂ + …
Resistências em paralelo: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Dois em paralelo: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
Lei de Ohm: V = I·R
Potência: P = V·I = I²R = V²/R

Método

Comece pela extremidade da rede mais distante dos terminais.
Combine resistores em série somando-os, e resistores em paralelo com 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …
Redesenhe o circuito após cada passo.
Repita até sobrar um único resistor entre os terminais.

Transitórios RC e RL

Constante de tempo: τ = RC | τ = L/R
Resposta: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
Capacitor em CC: circuito aberto; v_C não pode saltar
Indutor em CC: curto-circuito; i_L não pode saltar
Regime permanente: t ≈ 5τ

Método

Encontre o valor inicial logo após a comutação: a tensão em um capacitor e a corrente em um indutor não podem saltar.
Encontre o valor final muito tempo depois da comutação: um capacitor se comporta como circuito aberto e um indutor como curto-circuito.
Encontre a constante de tempo: τ = RC ou τ = L/R, usando a resistência vista pelo capacitor ou indutor.
Use x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ.

Campos magnéticos e indução

Fio reto e longo: B = μ₀I/(2πr)
Centro de uma bobina plana: B = μ₀NI/(2R)
Solenoide longo: B = μ₀nI, n = N/L
Constante: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
Força sobre um fio: F = BIL·sin θ
Força sobre uma carga: F = |q|vB·sin θ
Movimento circular: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
Fios paralelos: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
Fluxo: Φ = BA·cos θ
Lei de Faraday: ε = −N·ΔΦ/Δt
Barra em movimento: ε = BLv
Gerador: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
Indutância: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
Indutância mútua: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
Seletor de velocidade e espectrômetro: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

Método

Converta todas as grandezas para unidades do SI: cm para m, cm² para m², mT e µT para T.
Escolha a fórmula certa: B = μ₀I/(2πr) para um fio, μ₀NI/(2R) para o centro de uma bobina, μ₀nI dentro de um solenoide; F = BIL·sin θ ou |q|vB·sin θ para forças.
Para a indução, encontre a variação de fluxo ΔΦ = Δ(BA·cos θ) e use ε = N·ΔΦ/Δt, ou ε = BLv para uma barra em movimento e NBAω para uma bobina giratória.
Encontre os sentidos separadamente com as regras da mão direita, e com a lei de Lenz para correntes induzidas.

Impedância CA e fasores

Impedâncias: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
Frequência angular: ω = 2πf
Módulo e ângulo: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
Lei de Ohm fasorial: V = I·Z

Método

Converta a frequência: ω = 2πf.
Encontre cada reatância: X_L = ωL e X_C = 1/(ωC).
Some as impedâncias como resistores, com Z = R + jX.
Encontre o módulo |Z| = √(R² + X²) e o ângulo φ = atan(X/R), e depois use a lei de Ohm com fasores.

2Exercícios

1.Lei de Coulomb e campos elétricosMédia

Uma carga de +5 µC e uma carga de −3 µC estão a 50 cm uma da outra. O ponto P está na reta entre elas, a 30 cm da primeira carga. Calcule o módulo do campo elétrico E em P.

q₁ = +5 µCq₂ = −3 µCr₁ = 30 cmr₂ = 20 cm

E = N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricosDifícil

Um elétron entra no campo uniforme entre duas placas paralelas movendo-se paralelamente a elas a 3,5 × 10⁷ m/s. As placas têm 10 cm de comprimento e o campo entre elas é 4500 N/C. Carga do elétron 1,602 × 10⁻¹⁹ C, massa 9,109 × 10⁻³¹ kg; despreze a gravidade. Quanto y ele é desviado lateralmente ao sair das placas? Dê a resposta em mm.

v₀ = 3,5 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 4500 N/Ce = 1,602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9,109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.Resistores em série e paraleloMédia

Encontre a resistência equivalente R_eq vista pela fonte V₁.

V₁ = 10 VR₁ = 6 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 5 Ω

R_eq = Ω

4.Resistores em série e paraleloDifícil

Encontre a corrente I_R1 fornecida pela fonte, que passa por R₁.

V₁ = 9 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 2 ΩR₆ = 3 Ω

I_R1 = A

5.Transitórios RC e RLMédia

O indutor não conduz corrente antes de a chave fechar em t = 0. Encontre a corrente i em t = 5 ms.

V_s = 6 VR = 47 ΩL = 150 mHt = 5 ms

i = A

6.Transitórios RC e RLDifícil

A chave está fechada há muito tempo, então o circuito está em regime permanente. Em t = 0 a chave abre. Encontre a tensão no capacitor v_C em t = 80 ms.

V_s = 10 VR₁ = 4,7 kΩR₂ = 1 kΩC = 100 µFt = 80 ms

v_C = V

7.Campos magnéticos e induçãoMédia

Uma espira circular está num campo magnético uniforme que aponta entrando na página. A intensidade do campo está diminuindo. Clique no sentido da corrente induzida na espira, como vista no desenho.

B: entrando na páginadB/dt < 0

1horário
2anti-horário

8.Campos magnéticos e induçãoDifícil

Duas bobinas com autoindutâncias de 80 mH e 10 mH têm um coeficiente de acoplamento de 0,2. A corrente na primeira bobina varia a 1000 A/s. Encontre a fem ε induzida na segunda bobina.

L₁ = 80 mHL₂ = 10 mHk = 0,2di/dt = 1000 A/s

ε = V

9.Impedância CA e fasoresMédia

Um circuito RLC série está ligado a uma fonte de 100 V (rms), 200 Hz. Encontre o fator de potência cos φ do circuito.

V = 100 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mHC = 22 µF

cos φ =

10.Impedância CA e fasoresDifícil

Um resistor R₁ está ligado em série com uma associação em paralelo de R₂ e um capacitor C, a uma fonte de 230 V (eficaz), 500 Hz. Encontre o módulo da impedância |Z|.

V = 230 V (rms)f = 500 HzR₁ = 30 ΩR₂ = 100 ΩC = 2,2 µF

|Z| = Ω

3Soluções

1.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: E = 1,174 × 10⁶ N/C

Lei de Coulomb: duas cargas pontuais se atraem ou se repelem com F = k·|q₁·q₂|/r², com k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². O campo de uma carga pontual é E = k·|q|/r², apontando para longe de uma carga positiva e em direção a uma negativa. Forças e campos de várias cargas se somam como vetores.

Campo de cada carga

E₁ = k·5 × 10⁻⁶/0,3² = 499444 N/C

E₂ = k·3 × 10⁻⁶/0,2² = 674250 N/C

Sentidos e soma

O primeiro campo aponta para longe da carga positiva e o segundo para a carga negativa: os dois apontam no mesmo sentido.

E = |499444 + 674250| = 1,174 × 10⁶ N/C

Resposta

E = 1,174 × 10⁶ N/C

2.Lei de Coulomb e campos elétricos

Resposta: y = 3,23 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8,99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

Tempo entre as placas

t = L/v₀ = 0,1/3,5 × 10⁷ = 2,857 × 10⁻⁹ s

Aceleração lateral

a = e·E/m = 1,602 × 10⁻¹⁹·4500/9,109 × 10⁻³¹ = 7,914 × 10¹⁴ m/s²

Deflexão

y = ½·a·t² = ½·7,914 × 10¹⁴·(2,857 × 10⁻⁹)² = 0,00323 m = 3,23 mm

Resposta

y = 3,23 mm

O elétron é empurrado em direção à placa positiva, contra o sentido do campo.

3.Resistores em série e paralelo

Resposta: R_eq = 9,429 Ω

Resistores em série e em paralelo: em série a mesma corrente passa por cada resistor e R = R₁ + R₂ + …. Em paralelo cada resistor tem a mesma tensão e 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …. Uma rede em escada é reduzida um par por vez até restar uma única resistência equivalente.

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₃ + R₄ = 3 + 5 = 8 Ω

R₂ ∥ 8 = 6·8/(6+8) = 3,429 Ω

R_eq = R₁ + 3,429 = 6 + 3,429 = 9,429 Ω

Resposta

R_eq = 9,429 Ω

4.Resistores em série e paralelo

Resposta: I_R1 = 1,189 A

Combine os resistores a partir da extremidade mais distante

Comece pela extremidade mais distante da fonte e volte em direção a ela. Resistores com a mesma corrente estão em série; resistores entre os mesmos dois nós estão em paralelo.

R₅ + R₆ = 2 + 3 = 5 Ω

R₄ ∥ 5 = 2,222 Ω

R₃ + 2,222 = 7,222 Ω

R₂ ∥ 7,222 = 1,566 Ω

R_eq = R₁ + 1,566 = 6 + 1,566 = 7,566 Ω

Corrente da fonte

A fonte vê só R_eq, então a lei de Ohm dá a corrente que ela fornece. Essa corrente passa por R₁.

I_R1 = V₁/R_eq = 9/7,566 = 1,189 A

Resposta

I_R1 = 1,189 A

5.Transitórios RC e RL

Resposta: i = 0,101 A

Transitórios de primeira ordem: em um circuito com um capacitor ou um indutor, toda tensão e corrente vai exponencialmente do valor inicial ao valor final: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ, com τ = RC ou τ = L/R. Depois de cerca de 5τ o circuito se estabiliza.

Constante de tempo e corrente final

Muito depois de a chave fechar, o indutor se comporta como um curto, então a corrente final depende só de R.

τ = L/R = 150 mH / 47 Ω = 3,191 ms

i(∞) = V_s/R = 6/47 = 0,1277 A

Corrente no instante dado

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0,1277·(1 − e^−5/3,191) = 0,101 A

Resposta

i = 0,101 A

6.Transitórios RC e RL

Resposta: v_C = 0,7883 V

Tensão inicial do capacitor

Em regime permanente o capacitor é um circuito aberto, então R₁ e R₂ formam um divisor de tensão. A tensão do capacitor não pode saltar quando a chave abre.

v_C(0) = 10·1/(4,7 + 1) = 1,754 V

Constante de tempo após a abertura da chave

τ = R₂·C = 1·100 = 100 ms

Descarga

v_C(t) = 1,754·e^−80/100 = 0,7883 V

Resposta

v_C = 0,7883 V

7.Campos magnéticos e indução

Resposta: horário

Indução eletromagnética: o fluxo através de uma espira é Φ = BA·cos θ, com θ entre B e a normal da espira. Lei de Faraday: uma variação de fluxo induz fem = −N·dΦ/dt numa bobina de N espiras, e a lei de Lenz diz que a corrente induzida circula de modo que seu próprio campo se opõe à variação. Uma barra que se move através de um campo dá fem = BLv. Uma bobina girando com ω dá e = NBAω·sin ωt, com pico NBAω. Autoindutância: fem = −L·di/dt, com L = μ₀N²A/l para um solenoide longo, e a energia armazenada é W = ½LI². Duas bobinas acopladas: fem₂ = −M·di₁/dt com M = k√(L₁L₂).

Variação do fluxo

O fluxo saindo da página aumenta, ou o fluxo entrando na página diminui.

Campo da corrente induzida

A corrente induzida se opõe à variação.

Campo induzido dentro da espira: entrando na página.

Sentido da corrente

Regra da mão direita: uma corrente anti-horária produz um campo saindo da página dentro da espira.

horário

Resposta

horário

8.Campos magnéticos e indução

Resposta: ε = 5,657 V

Indutância mútua

M = 0,2·√(80·10) = 5,657 mH

Fem induzida

ε = M·di/dt = 0,005657·1000 = 5,657 V

Resposta

ε = 5,657 V

9.Impedância CA e fasores

Resposta: cos φ = 0,6001

Circuitos CA com fasores: resistores, indutores e capacitores têm impedâncias R, jωL e 1/(jωC), com ω = 2πf. Em série, as impedâncias se somam como resistências, mas como números complexos. Corrente e tensão rms seguem a lei de Ohm com |Z|.

Reatâncias

X_L = 62,83 Ω, X_C = 36,17 Ω

Impedância

|Z| = √(20² + (26,66)²) = 33,33 Ω

Fator de potência

cos φ = R/|Z| = 20/33,33 = 0,6001

O circuito é indutivo, então o fator de potência é indutivo (atrasado).

Resposta

cos φ = 0,6001

10.Impedância CA e fasores

Resposta: |Z| = 108,3 Ω

Reatância

X_C = 1/(2π·500·2,2·10⁻⁶) = 144,7 Ω

Associação em paralelo

Multiplique numerador e denominador pelo complexo conjugado para separar Z_p em partes real e imaginária.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 67,67 − j46,77 Ω

Impedância total

Z = 30 + 67,67 − j46,77 = 97,67 − j46,77 Ω

|Z| = √(97,67² + 46,77²) = 108,3 Ω

Resposta

|Z| = 108,3 Ω

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